Алгебраических систем класс

класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре [img: http://localhost:8080/file/010118-58.jpg] и наз. [img: http://localhost:8080/file/010118-59.jpg] -системами. Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-61.jpg] -систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой [img: http://localhost:8080/file/010118-62.jpg] и все изоморфные ей [img: http://localhost:8080/file/010118-63.jpg] -системы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010118-64.jpg] - абстрактный класс [img: http://localhost:8080/file/010118-65.jpg] -систем. Говорят, что [img: http://localhost:8080/file/010118-66.jpg] -система [img: http://localhost:8080/file/010118-67.jpg] обладает локальной совокупностью [img: http://localhost:8080/file/010118-68.jpg] -подсистем, если существует направленное по включению множество [img: http://localhost:8080/file/010118-69.jpg] подсистем [img: http://localhost:8080/file/010118-70.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010118-71.jpg], к-рые покрывают систему [img: http://localhost:8080/file/010118-72.jpg] (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010118-73.jpg]) п принадлежат классу, [img: http://localhost:8080/file/010118-74.jpg]. Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-75.jpg] наз. локальным, если каждая [img: http://localhost:8080/file/010118-76.jpg] -система [img: http://localhost:8080/file/010118-77.jpg], обладающая локальной совокупностью [img: http://localhost:8080/file/010118-78.jpg] -подсистем, принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010118-79.jpg]. Теоремы, устанавливающие локальность тех или иных абстрактных классов, принято наз. локальными (см. Мальцева локальные теоремы). [img: http://localhost:8080/file/010118-80.jpg] -система [img: http://localhost:8080/file/010118-81.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010118-82.jpg] -аппроксимируемой (или [img: http://localhost:8080/file/010118-83.jpg] -резидуальной), если для любого предиката [img: http://localhost:8080/file/010118-84.jpg] (т. е. для любого основного предиката, а также для предиката, совпадающего с отношением равенства в [img: http://localhost:8080/file/010118-85.jpg]) и для любых элементов а 1..., а п из [img: http://localhost:8080/file/010118-86.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010118-87.jpg], существует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010118-88.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010118-89.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010118-90.jpg] в нек-рую систему [img: http://localhost:8080/file/010118-91.jpg] нз класса [img: http://localhost:8080/file/010118-92.jpg], при к-ром снова [img: http://localhost:8080/file/010118-93.jpg] Любая подсистема [img: http://localhost:8080/file/010118-94.jpg] -аппроксимируемой системы сама [img: http://localhost:8080/file/010118-95.jpg] -аппроксимируема. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-96.jpg] - класс всех конечных fi-систем, то [img: http://localhost:8080/file/010118-97.jpg] -аппроксимируемая система [img: http://localhost:8080/file/010118-98.jpg] наз. финитно аппроксимируемой (или резидуально конечной). Если абстрактный класс [img: http://localhost:8080/file/010118-99.jpg] обладает единичной системой [img: http://localhost:8080/file/010118-100.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010118-101.jpg] -система [img: http://localhost:8080/file/010118-102.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-103.jpg] -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она изоморфно вложнма в декартово произведение систем из класса [img: http://localhost:8080/file/010118-104.jpg] (см. [3]). Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-105.jpg] наз. резидуальным, если всякая [img: http://localhost:8080/file/010118-106.jpg] -аппроксимируемая система принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010118-107.jpg]. Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-108.jpg] наз. гомоморфно замкнутым, если он содержит с каждой своей [img: http://localhost:8080/file/010118-109.jpg] -системой [img: http://localhost:8080/file/010118-110.jpg] п все [img: http://localhost:8080/file/010118-111.jpg] -системы, являющиеся гомоморфными образами системы [img: http://localhost:8080/file/010118-112.jpg]. Всякий резидуальный гомоморфно замкнутый класс - локальный (см. [5]). Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-114.jpg] -систем наз. (конечно) аксиоматизируемым, если существует такая (конечная) совокупность [img: http://localhost:8080/file/010118-115.jpg] замкнутых формул 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-116.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010118-117.jpg] состоит из тех и только тех [img: http://localhost:8080/file/010118-118.jpg] -систем, в к-рых истинны все формулы из [img: http://localhost:8080/file/010118-119.jpg]. Конечно аксиоматизируемые классы наз. иначе элементарными классами. При помощи обобщенной гипотезы континуума доказано (см. [5]), что: 1) А. с. к. [img: http://localhost:8080/file/010118-120.jpg] аксиоматизируем, тогда и только тогда, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и его дополнение (в классе всех [img: http://localhost:8080/file/010118-121.jpg] -систем) замкнуто относительно ультра-степеней; 2) А. с. к. [img: http://localhost:8080/file/010118-122.jpg] элементарен тогда ц только тогда, когда он и его дополнение замкнуты относительно ультрапроизведений. Теория аксиоматизируемых А. с. к. изучает связи между структурными свойствами рассматриваемых классов и синтаксич. особенностями формального языка, на к-ром эти классы могут быть заданы. Среди аксиоматизируемых классов особенно важную роль в алгебре играют многообразия (см. Алгебраических систем многообразие).и квазимногообразия (см. Алгебраических систем квазимногообразие), к-рые локальны и резидуальны. Наряду с аксиоматизируемостью замкнутыми формулами 1-й ступени рассматривают также аксиоматизируемость при помощи специальных замкнутых формул 2-й ступени. К сигнатурным функциональным и предикатным символам [img: http://localhost:8080/file/010118-123.jpg] фиксированной сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-124.jpg] присоединяют предикатные переменные [img: http://localhost:8080/file/010118-125.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010118-126.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010118-127.jpg] - бескванторная формула 1-й ступени, составленная из сигнатурных функциональных и предикатных символов, предикатных переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-128.jpg] и предметных переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-129.jpg] Формула 2-й ступени [img: http://localhost:8080/file/010118-130.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010118-131.jpg] - нек-рая последовательность кванторов вида [img: http://localhost:8080/file/010118-132.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010118-133.jpg], наз. крипто универсально и. Формула 2-й ступени, образованная из криптоуниверсальных формул без свободных предметных переменных при помощи ло-гич. связок [img: http://localhost:8080/file/010118-134.jpg] с последующим навешиванием квантора всеобщности [img: http://localhost:8080/file/010118-135.jpg] на все свободные предикатные переменные, встречающиеся в записях криптоуниверсальных формул, наз. булево-универсальной формулой сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-136.jpg]. Класс [img: http://localhost:8080/file/010118-137.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-138.jpg] -систем наз. квазиунпверсальным, если существует такая совокупность [img: http://localhost:8080/file/010118-139.jpg] булево-универсальных формул сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-140.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010118-141.jpg] состоит из тех и только тех [img: http://localhost:8080/file/010118-142.jpg] -систем, в к-рых истинны все формулы из [img: http://localhost:8080/file/010118-143.jpg]. Квазиуниверсальный класс [img: http://localhost:8080/file/010118-144.jpg] -систем локален (теорема Мальцева). Имеется более сложное определение квазиуниверсального класса, данное А. И. Мальцевым [4].