Алгебраических систем многообразие

алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида [img: http://localhost:8080/file/010118-145.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010118-146.jpg] - к.-л. предикатный символ из [img: http://localhost:8080/file/010118-147.jpg] или знак равенства, а [img: http://localhost:8080/file/010118-148.jpg] - термы сигнатуры Q от предметных переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-149.jpg] А. с. м. наз. иначе э к, вациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-150.jpg] может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс [img: http://localhost:8080/file/010118-151.jpg] -систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений. Пересечение всех многообразий сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-152.jpg], содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс [img: http://localhost:8080/file/010118-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-154.jpg] -систем, наз. эквациональным замыканием класса [img: http://localhost:8080/file/010118-155.jpg] (или многообразием, порожденным классом [img: http://localhost:8080/file/010118-156.jpg] > и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010118-157.jpg]. В частности, если класс [img: http://localhost:8080/file/010118-158.jpg] состоит из одной [img: http://localhost:8080/file/010118-159.jpg] -системы [img: http://localhost:8080/file/010118-160.jpg], то его эквацп-ональное замыкание обозначают [img: http://localhost:8080/file/010118-161.jpg]. Если система [img: http://localhost:8080/file/010118-162.jpg] конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии [img: http://localhost:8080/file/010118-163.jpg] также конечны [1], [2]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010118-164.jpg] - нек-рый класс [img: http://localhost:8080/file/010118-165.jpg] -систем, [img: http://localhost:8080/file/010118-166.jpg] - класс подсистем систем из [img: http://localhost:8080/file/010118-167.jpg] - класс гомоморфных образов систем из [img: http://localhost:8080/file/010118-168.jpg] - класс изоморфных копий декартовых произведений систем пз [img: http://localhost:8080/file/010118-169.jpg]. Для произвольного непустого класса [img: http://localhost:8080/file/010118-170.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-171.jpg] -систем имеет место соотношение (см. [1], [2]): [img: http://localhost:8080/file/010118-172.jpg] Многообразие наз. тривиальным, если в каждой его системе истинно тождество [img: http://localhost:8080/file/010118-173.jpg]. Всякое нетривиальное многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-174.jpg] обладает свободными системами [img: http://localhost:8080/file/010118-175.jpg] любого ранга ти [img: http://localhost:8080/file/010118-176.jpg] (см. [1], [2]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010118-177.jpg] - множество тождеств сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-178.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010118-179.jpg] - класс всех [img: http://localhost:8080/file/010118-180.jpg] -систем, в к-рых истинны все тождества из [img: http://localhost:8080/file/010118-181.jpg]. Если для многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-182.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-183.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/010118-184.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010118-185.jpg] наз. базисом для [img: http://localhost:8080/file/010118-186.jpg]. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-187.jpg] наз. конечно базируемы м, если оно имеет конечный базис [img: http://localhost:8080/file/010118-188.jpg]. Для любой системы [img: http://localhost:8080/file/010118-189.jpg] базис многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-190.jpg] наз. также базисом тождеств системы [img: http://localhost:8080/file/010118-191.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-192.jpg] - конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигнатуры и все алгебры из [img: http://localhost:8080/file/010118-193.jpg] имеют дистрибутивные решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра [img: http://localhost:8080/file/010118-194.jpg] пз [img: http://localhost:8080/file/010118-195.jpg] имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности, любая конечная решетка [img: http://localhost:8080/file/010118-196.jpg] обладает конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид [6], у к-рых нет конечного базиса тождеств. Многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-197.jpg] -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном многообразии [img: http://localhost:8080/file/010118-198.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-199.jpg], составляют по включению полную решетку [img: http://localhost:8080/file/010118-200.jpg] с нулем и единицей, к-рая наз. решеткой подмногообразий многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-201.jpg]. Нулем этой решетки служит многообразие с базисом [img: http://localhost:8080/file/010118-202.jpg], а единицей - многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-203.jpg]. Если многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-204.jpg] нетривиально, то решетка [img: http://localhost:8080/file/010118-205.jpg] антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции свободной в [img: http://localhost:8080/file/010118-206.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010118-207.jpg] счетного ранга [1]. Решетка [img: http://localhost:8080/file/010118-208.jpg] всех многообразий сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-209.jpg] бесконечна, кроме случая, когда множество [img: http://localhost:8080/file/010118-210.jpg] конечно и состоит лишь из предикатных символов. Известно точное значение мощности бесконечной решетки [img: http://localhost:8080/file/010118-211.jpg] (см. [1]). Решетка всех многообразий решеток [img: http://localhost:8080/file/010118-212.jpg] дистрибутивна и имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех многообразий групп [img: http://localhost:8080/file/010118-213.jpg] модулярна, но не дистрибутивна [3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полугрупп не модулярна [9]. Атомы решетки [img: http://localhost:8080/file/010118-214.jpg] всех многообразий сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-215.jpg] наз. минимальными многообразиями сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-216.jpg]. Каждое многообразие, обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное многообразие. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-217.jpg] -система [img: http://localhost:8080/file/010118-218.jpg] конечна и конечного типа, то многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-219.jpg] содержит лишь конечное число минимальных подмногообразий [1]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010118-220.jpg] - подмногообразия фиксированного многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-221.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-222.jpg] -систем. Мальцевским произведением [img: http://localhost:8080/file/010118-223.jpg] наз. класс тех систем [img: http://localhost:8080/file/010118-224.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010118-225.jpg], к-рые обладают такой конгруэнцией [img: http://localhost:8080/file/010118-226.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010118-227.jpg], а все смежные классы [img: http://localhost:8080/file/010118-228.jpg], являющиеся системами из [img: http://localhost:8080/file/010118-229.jpg], принадлежат [img: http://localhost:8080/file/010118-230.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-231.jpg] - многообразие всех групп, а [img: http://localhost:8080/file/010118-232.jpg] - его подмногообразия, то произведение [img: http://localhost:8080/file/010118-233.jpg] совпадает с произведением в смысле X. Нейман [3]. Произведение многообразий полугрупп может не быть многообразием. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-234.jpg] -систем наз. поляризованным, если существует такой терм [img: http://localhost:8080/file/010118-235.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-236.jpg], что в каждой системе из [img: http://localhost:8080/file/010118-237.jpg] истинны тождества [img: http://localhost:8080/file/010118-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-239.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010118-240.jpg] - поляризованное многообразие алгебр и в каждой алгебре нз [img: http://localhost:8080/file/010118-241.jpg] конгруэнции перестановочны, то мальцевское произведение [img: http://localhost:8080/file/010118-242.jpg] любых подмногообразий [img: http://localhost:8080/file/010118-243.jpg] есть многообразие. В частности, можно говорить о группоиде [img: http://localhost:8080/file/010118-244.jpg] подмногообразий любого многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-245.jpg] групп, колец и т. п. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-246.jpg] - многообразие всех групп или всех алгебр Ли над фиксированным полем Рхарактеристики нуль, то [img: http://localhost:8080/file/010118-247.jpg] - свободная полугруппа [1].