Алгебраическое сравнение

сравнение вида: [img: http://localhost:8080/file/010118-295.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010118-296.jpg] - многочлен от переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-297.jpg] с целыми рациональными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/010118-298.jpg]. Максимальное значение величины [img: http://localhost:8080/file/010118-299.jpg] где максимум берется по всевозможным наборам [img: http://localhost:8080/file/010118-300.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010118-301.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010118-302.jpg], наз. степенью по совокупности переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-303.jpg] или степенью алгебраического сравнения (1). Максимальное значение величины [img: http://localhost:8080/file/010118-304.jpg] где максимум берется по тем же наборам [img: http://localhost:8080/file/010118-305.jpg] наз. степенью алгебраического сравнения (1)по переменной [img: http://localhost:8080/file/010118-306.jpg]. Основным вопросом в теории А. с. является вопрос о числе решений того или иного сравнения. При этом можно ограничиться лишь случаем простого модуля, поскольку вопрос о числе решений А. с. (1) по составному модулю т, за исключением нек-рых вырожденных случаев, сводится к вопросу о числе решений сравнений [img: http://localhost:8080/file/010118-307.jpg] по простым модулям р, делящим т. Среди А. с. [img: http://localhost:8080/file/010118-308.jpg] от одной переменной наиболее изучены двучленные сравнения [img: http://localhost:8080/file/010118-309.jpg] Исследование вопроса о числе решений сравнения в случае многочлена [img: http://localhost:8080/file/010118-310.jpg] общего вида встречает значительные трудности и при его решении получены лишь отдельные частные результаты. Систему сравнений [img: http://localhost:8080/file/010118-311.jpg] можно трактовать как систему алгебраич. уравнений: [img: http://localhost:8080/file/010118-312.jpg] над простым конечным полем [img: http://localhost:8080/file/010118-313.jpg], состоящим из рэлементов; число решений этой системы сравнений будет числом [img: http://localhost:8080/file/010118-314.jpg] - рациональных точек алгебраического многообразия, определяемого системой уравнений (2). Поэтому, наряду с теоретико-числовыми методами, к изучению А. с. или систем А. с. применяются методы алгебраич. геометрии. Среди А. с. от нескольких переменных более полно исследованы сравнения вида [img: http://localhost:8080/file/010118-315.jpg] Именно, для числа решений [img: http://localhost:8080/file/010118-316.jpg] А. с. этого вида, где [img: http://localhost:8080/file/010118-317.jpg] - абсолютно неприводимый многочлен, получена оценка [img: http://localhost:8080/file/010118-318.jpg] Здесь константа gзависит лишь от многочлена и равна роду кривой [img: http://localhost:8080/file/010118-319.jpg] В первом нетривиальном случае - для эллиптич. сравнения [img: http://localhost:8080/file/010118-320.jpg] такую оценку получил X. Хассе (Н. Hasse) в 1934, основываясь на формуле сложения точек Якоби многообразия кривой [img: http://localhost:8080/file/010118-321.jpg] Позже метод Хассе был распространен А. Вейлем [4] на случай абсолютно неприводимых многочленов F. В [3] указанная оценка была получена с помощью элементарных методов. А. с. с числом переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-322.jpg] изучены значительно слабее. В качестве общего результата можно отметить теорему Шевалле, утверждающую, что если [img: http://localhost:8080/file/010118-323.jpg] - форма, степень к-рой строго меньше числа переменных, то число решений сравнения [img: http://localhost:8080/file/010118-324.jpg] положительно и делится на р;для однородных многочленов существование решения не гарантируется; но делимость на ростается в силе (теорема Варнин-г а). Существуют обобщения последней теоремы на случай систем сравнений. Теория А. с. имеет многочисленные применения в других разделах теории чисел - в теории диофантовых уравнений, задачах аддитивной теории чисел, теории алгебраич. чисел и т. д.