Алгебра мер

- алгебра М(G).комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и сверткой в качестве умножения (см. Гармонический анализ абстрактный). Свертка [img: http://localhost:8080/file/010112-140.jpg] полностью определяется из условия, что для любой непрерывной функции f на Gс компактным носителем [img: http://localhost:8080/file/010112-141.jpg] Если за норму в М(G).принять полную вариацию меры, то М(G).становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. А. м. М(G).обладает единицей, к-рой служит [img: http://localhost:8080/file/010112-142.jpg] -мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в M(G), образует замкнутую подалгебру. Каждой функции f, принадлежащей групповой алгебре [img: http://localhost:8080/file/010112-143.jpg] может быть поставлена в соответствие мера [img: http://localhost:8080/file/010112-144.jpg] по правилу [img: http://localhost:8080/file/010112-145.jpg] (интеграл по мере Хаара). При этом возникает изометрическое изоморфное вложение [img: http://localhost:8080/file/010112-146.jpg] Образ при этом вложении является замкнутым идеалом в M(G). Преобразованием Фурье - Стилтьеса меры [img: http://localhost:8080/file/010112-147.jpg] наз. функция m на двойственной группе [img: http://localhost:8080/file/010112-148.jpg] определяемая формулой: [img: http://localhost:8080/file/010112-149.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/010112-150.jpg] В частности, М(G).есть алгебра без радикала. Если группа G не дискретна, то А. м. М(G).устроена весьма сложно: она не симметрична, и ее пространство максимальных идеалов обладает рядом патологич. свойств. Напр., это пространство содержит бесконечномерные аналитич. образования, а естественно вложенная в него группа [img: http://localhost:8080/file/010112-151.jpg] не плотна даже в границе Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры, т. е. такие, что [img: http://localhost:8080/file/010112-152.jpg] Каждая идемпотентная мера есть конечная целочисленная комбинация [img: http://localhost:8080/file/010112-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010112-154.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010112-155.jpg] -мера Хаара компактной подгруппы, а [img: http://localhost:8080/file/010112-156.jpg] - характер. В случае [img: http://localhost:8080/file/010112-157.jpg] это приводит к тому, что последовательность [img: http://localhost:8080/file/010112-158.jpg] из 0 и 1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье - Стилтьеса нек-рой меры на окружности, когда [img: http://localhost:8080/file/010112-159.jpg] не более чем в конечном числе членов отличается от периодич. последовательности. В общем случае теорема об идемпотентных мерах допускает естественную интерпретацию в терминах нульмерных когомологий пространства максимальных идеалов. Удовлетворительное описание известно и для других групп когомологий пространства максимальных идеалов А. м., что, в частности, позволяет судить о возможности логарифмировать обратимую меру из М(G).(одномерные целочисленные когомологий).