Алгебра множеств

- непустая совокупность подмножеств нек-рого множества W, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы нек-рый класс подмножеств множества W был А. м., достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений. А. м., замкнутая относительно образования счетных объединений, наз. [img: http://localhost:8080/file/010112-160.jpg] -алгеброй множеств ([img: http://localhost:8080/file/010112-161.jpg] -А. -А. м. замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе. Примеры. 1) Совокупность конечных подмножеств произвольного множества W и дополнений к ним есть А. м.; совокупность не более чем счетных подмножеств W и дополнений к ним есть [img: http://localhost:8080/file/010112-163.jpg] -А. м. 2) Совокупность конечных объединений интервалов вида [img: http://localhost:8080/file/010112-164.jpg] образует А. м. 3) W- топологич. пространство; [img: http://localhost:8080/file/010112-165.jpg] -А. м. В, порожденная открытыми подмножествами W (иными словами, наименьшая [img: http://localhost:8080/file/010112-166.jpg] -А. м., содержащая все открытые подмножества W), наз. борелевской [img: http://localhost:8080/file/010112-167.jpg] -алгеброй подмножеств W, а множества, принадлежащие В, наз. борелевскими множествами. 4) [img: http://localhost:8080/file/010112-168.jpg] где Т- произвольное множество (т. е. W - множество всех действительных функций на Т);класс Амножеств вида [img: http://localhost:8080/file/010112-169.jpg] где Е- борелевское подмножество [img: http://localhost:8080/file/010112-170.jpg], образует А. м.; в теории случайных процессов вероятностная мера часто задается первоначально лишь для множеств из алгебры этого типа и затем доопределяется на более широком классе множеств (на [img: http://localhost:8080/file/010112-171.jpg] -алгебре, порожденной А). 5) Совокупность измеримых по Лебегу подмножеств [img: http://localhost:8080/file/010112-172.jpg] образует [img: http://localhost:8080/file/010112-173.jpg] -А. м. Алгебры (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010112-174.jpg] -алгебры) являются естественной областью определения конечно аддитивных (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010112-175.jpg] -аддитивных) мер. По теореме о продолжении меры всякая [img: http://localhost:8080/file/010112-176.jpg] -конечная [img: http://localhost:8080/file/010112-177.jpg] -аддитивная мера, заданная на алгебре А, может быть однозначно продолжена до [img: http://localhost:8080/file/010112-178.jpg] -аддитивной меры, определенной на [img: http://localhost:8080/file/010112-179.jpg] -алгебре, порожденной А.