Алефы

[img: http://localhost:8080/file/010123-92.jpg],- первая буква древнееврейского алфавита,- символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor) для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора аксиомы). Но многие теоремы об А. доказываются без аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа [img: http://localhost:8080/file/010123-93.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/010123-94.jpg] обозначается мощность множества всех порядковых чисел, меньших [img: http://localhost:8080/file/010123-95.jpg]. В частности, [img: http://localhost:8080/file/010123-96.jpg] есть мощность множества всех натуральных чисел, [img: http://localhost:8080/file/010123-97.jpg] - мощность множества всех счетных порядковых чисел и т. д. Если [img: http://localhost:8080/file/010123-98.jpg] Кардинал [img: http://localhost:8080/file/010123-99.jpg] является наименьшим кардинальным числом, следующим за [img: http://localhost:8080/file/010123-100.jpg]. Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что [img: http://localhost:8080/file/010123-101.jpg] для любого порядкового числа [img: http://localhost:8080/file/010123-102.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010123-103.jpg] равенство приобретает вид [img: http://localhost:8080/file/010123-104.jpg] и составляет содержание континуум-гипотезы. Множество всех А., меньших [img: http://localhost:8080/file/010123-105.jpg], вполне упорядочено по величине и порядковый тип его равен [img: http://localhost:8080/file/010123-106.jpg]. Естественным образом определяются сумма, произведение и степень А. При этом [img: http://localhost:8080/file/010123-107.jpg] Наиболее часто встречаются следующие формулы. Рекурсивная формула Хаусдорфа: [img: http://localhost:8080/file/010123-108.jpg] ее частным случаем при [img: http://localhost:8080/file/010123-109.jpg] является формула Бернштейна: [img: http://localhost:8080/file/010123-110.jpg] Рекурсивная формула Тарского: если порядковое число [img: http://localhost:8080/file/010123-111.jpg] предельно и [img: http://localhost:8080/file/010123-112.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010123-113.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/010123-114.jpg] обозначает конфинальный характер порядкового числа [img: http://localhost:8080/file/010123-115.jpg]. Как и в случае кардинальных чисел, различают сингулярные А., регулярные А., предельные А., слабо недостижимые А., сильно недостижимые А. и др. Напр., [img: http://localhost:8080/file/010123-116.jpg] сингулярно, если [img: http://localhost:8080/file/010123-117.jpg] предельно и [img: http://localhost:8080/file/010123-118.jpg] Среди А. нет наибольшего. Множество всех А., как показал Г. Кантор, не мыслимо, т. е. такого множества не существует. См. также Вполне упорядоченное множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Множеств теория, Порядковое число.