Аналитическая группа

множество G, наделенное одновременно структурой топологической группа и структурой конечномерного аналитического многообразия (над нолем k, полным относительно нек-ро-го нетривиального абсолютного значения).так, что отображение [img: http://localhost:8080/file/010124-25.jpg] заданное правилом [img: http://localhost:8080/file/010124-26.jpg] является аналитическим. А. г. Gвсегда хаусдорфова; если А локально компактно, то Gлокально компактна. В случае, когда kявляется соответственно полем действительных, комплексных или р-адических чисел, G наз. соответственно вещественной (действительной), комплексной или р-адической А. г. Примером А. г. может служить полная линейная группа [img: http://localhost:8080/file/010124-27.jpg] векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010124-28.jpg] над k(см. Линейная классическая группа).или, более общо, группа обратимых элементов произвольной конечномерной ассоциативной алгебры с единицей над k. Вообще, группа k-рациональных точек алгебраической группы,, определенной над k, является А. г. Подгруппа в А. г. G, являющаяся подмногообразием в G, наз. аналитической подгруппой; такая подгруппа обязательно замкнута в G. Напр., ортогональная группа [img: http://localhost:8080/file/010124-29.jpg] является аналитич. одгруппой в [img: http://localhost:8080/file/010124-30.jpg] Всякая замкнутая подгруппа вещественной или р-адической А. г. аналитична и всякий непрерывный гомоморфизм таких групп аналитичен (теоремы Картана, см. [1]). А. г. иногда наз. группой Ли (см. [1]), однако обычно группа Ли понимается более узко как вещественная А. г. (см. [2], [3] и Ли группа). Комплексная же и р-адическая А. г. наз. соответственно комплексной и р-адической группами Ли. Сформулированные выше теоремы Картана означают, что категория вещественных пли р-адических А. г. будет полной подкатегорией в категории локально компактных топологич. групп. Вопрос о том, насколько эти категории отличаются, т. е. когда локально компактная группа G является вещественной или р-адической А. г., допускает исчерпывающий ответ: в действительном случае в G должна существовать окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (см. [5] -[9]); в р-адическом случае в G должна содержаться конечно порожденная открытая подгруппа U, являющаяся про- р-группой, коммутант к-рой лежит в множестве [img: http://localhost:8080/file/010124-31.jpg] степеней элементов из U(см. [10]). В частности, любая топологич. группа, имеющая окрестность единицы, гомеоморфную евклидову пространству (так наз. локально евклидова топологическая группа, см. [4]), есть вещественная А. г. Иначе говоря, из существования в топологич. группе непрерывных локальных координат вытекает существование аналитических локальных координат; этот результат составляет положительное решение пятой проблемы Гильберта (см. [5], [11]). В случае нулевой характеристики поля kважнейшим методом исследования А. г. является изучение их алгебр Ли (см. Ли алгебра аналитической группы). О бесконечномерных А. г. см. Ли банахова группа.