Аналитическая емкость

аналитическая мера, аналитическая мера Альфорса,- функция плоского множества, введенная Л. Альфорсом [1] и являющаяся аналогом логарифмич. емкости, приспособленным для характеризации множеств устранимых особенностей ограниченных аналитических функций. Пусть Е - замкнутое ограниченное множество на плоскости, [img: http://localhost:8080/file/010124-32.jpg] - множество функций, аналитических вне Е, равных нулю в бесконечно удаленной точке и ограниченных всюду вне Еконстантой 1, и пусть [img: http://localhost:8080/file/010124-33.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010124-34.jpg] Число [img: http://localhost:8080/file/010124-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010124-36.jpg] паз. аналитической емкостью множества Е. А. е. произвольного множества обычно наз. верхняя грань А. е. его замкнутых ограниченных подмножеств. Если Е - замкнутое ограниченное множество, то для того чтобы всякая аналитическая и ограниченная вне Ефункция аналитически продолжалась на множестве Е, необходимо и достаточно равенство нулю А. е. множества Е(теорем а Альфорса). Существует также ряд родственных А. е. понятий, приспособленных к метрикам различных других пространств аналитич. функций (см., напр., [2] и [3]). Понятие А. е. оказалось удачно приспособленным в нек-рых задачах теории приближения, где решение ряда основных вопросов формулируется в терминах А. е. Так [4], для того чтобы на замкнутом ограниченном плоском множестве Евсякая непрерывная функция равномерно приближалась с любой точностью рациональными функциями, необходимо и достаточно, чтобы для любого круга [img: http://localhost:8080/file/010124-37.jpg] радиуса [img: http://localhost:8080/file/010124-38.jpg] выполнялось равенство [img: http://localhost:8080/file/010124-39.jpg]