Аналитическая теория дифференциальных уравнений

- раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек-рый класс дифференциальных уравнений, все решения к-рых суть аналитич. функции одной переменной; требуется выяснить, какими специфич. свойствами обладают аналитич. функции, являющиеся решениями данного класса уравнений, В таком широком понимании А. т. д. у. включает теорию алгебраич. функций, теорию абелевых интегралов, теорию специальных функций и т. д. Специальные функции - Бесселя функции, Эйри функции, Лежандра функции, Лагерра функции, Эрмита функции, Чебышева многочлены, Сонина функции, Уиттекера функции, Вебера функции, Матье функции, гипергеометрическая функция и многие другие - являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитич. оэффициентами. Линейная теория. Рассмотрим систему из пуравнений в матричной записи [img: http://localhost:8080/file/010124-136.jpg] 1) Пусть матрицы [img: http://localhost:8080/file/010124-137.jpg] голоморфны в области [img: http://localhost:8080/file/010124-138.jpg] - комплексная плоскость t). Тогда всякое решение системы (1) аналитично в G (но, вообще говоря, неоднозначно, если область Gнеодносвязна). Предположим, что A(t).мероморфна в области G, и рассмотрим однородную систему [img: http://localhost:8080/file/010124-139.jpg] [Матрица A(t).наз. голоморфной (мероморфной) в области G, если все ее элементы голоморфны (мероморфны) в этой области.] Точка t0 принадлежащая Gназ, полюсом матрицы A(t).порядка v>=l, если в нек-рой окрестности этой точки [img: http://localhost:8080/file/010124-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010124-141.jpg] - постоянные матрицы, [img: http://localhost:8080/file/010124-142.jpg] а матрица В(t).голоморфна в точке t0. Полюс t0 не равный бесконечностипорядка [img: http://localhost:8080/file/010124-143.jpg] наз. регулярной особой точкой при [img: http://localhost:8080/file/010124-144.jpg] и иррегулярной особой точкой при v>=2. Случай [img: http://localhost:8080/file/010124-145.jpg] сводится к случаю [img: http://localhost:8080/file/010124-146.jpg] заменой [img: http://localhost:8080/file/010124-147.jpg] Ниже [img: http://localhost:8080/file/010124-148.jpg] 2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010124-149.jpg] - полюс [img: http://localhost:8080/file/010124-150.jpg] Тогда существует фундаментальная матрица [img: http://localhost:8080/file/010124-151.jpg] системы (2) вида [img: http://localhost:8080/file/010124-152.jpg] где D - постоянная матрица, [img: http://localhost:8080/file/010124-153.jpg] - голоморфна при [img: http://localhost:8080/file/010124-154.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010124-155.jpg] - регулярная особая точка, и Ф (t).голоморфна при [img: http://localhost:8080/file/010124-156.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010124-157.jpg] - иррегулярная особая точка, для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010124-158.jpg] (Здесь [img: http://localhost:8080/file/010124-159.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010124-160.jpg] по определению.) Для регулярной особой точки матрица Dвыражается через A(t).в явном виде (см. [1], [2]); для иррегулярных особых точек это не так. Аналогичная классификация особых точек вводится для дифференциальных уравнений порядка пс меро-морфными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и системы, все особые точки к-рых регулярны, наз. дифференциальными уравнениями (системами) класса Фукса. Общий вид матрицы [img: http://localhost:8080/file/010124-161.jpg] для такой системы: [img: http://localhost:8080/file/010124-162.jpg] Примером дифференциального уравнения класса Фукса является гипергеометрическое уравнение. 3) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010124-163.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/010124-164.jpg] голоморфна при [img: http://localhost:8080/file/010124-165.jpg] (это иррегулярная особая точка, если [img: http://localhost:8080/file/010124-166.jpg] Если 5 - достаточно узкий сектор вида [img: http://localhost:8080/file/010124-167.jpg] то существует фундаментальная матрица вида [img: http://localhost:8080/file/010124-168.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010124-169.jpg] - постоянная матрица, [img: http://localhost:8080/file/010124-170.jpg] - диагональная матрица, элементы к-рой суть полиномы от [img: http://localhost:8080/file/010124-171.jpg] - целое и [img: http://localhost:8080/file/010124-172.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010124-173.jpg] Вся плоскость С (t) разбивается на конечное число секторов, в каждом из к-рых есть фундаментальная матрица вида (4) (см. [3], [4], а также [1]. [2]). 4) При аналитич. родолжении вдоль замкнутого пути [img: http://localhost:8080/file/010124-174.jpg] фундаментальная матрица X(t).умножается на [img: http://localhost:8080/file/010124-175.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010124-176.jpg] - постоянная матрица; возникает монодромии группа дифференциального уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским [5] была исследована проблема Римана: пусть A(t) - рациональная функция от t, и пусть известны особенности фундаментальной матрицы X(t);требуется найти A(t). 5) Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010124-177.jpg] конформно отображает верхнюю полуплоскость Im t>0 на внутренность многоугольника, граница к-рого состоит из конечного числа отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/010124-178.jpg] удовлетворяет уравнению Шварца [img: http://localhost:8080/file/010124-179.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010124-180.jpg] - рациональная [img: http://localhost:8080/file/010124-181.jpg] функция, причем уравнение принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения (5) может быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/010124-182.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010124-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010124-184.jpg] - линейно независимые решения уравнения (6). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010124-185.jpg] - бесконечная дискретная группа, [img: http://localhost:8080/file/010124-186.jpg] - автоморфная функция группы G; тогда [img: http://localhost:8080/file/010124-187.jpg] может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010124-188.jpg] - линейно независимые решения уравнения (6) и R(t) - нек-рая алгебраическая функция. Нелинейная теория. 1) Рассмотрим задачу Коши: [img: http://localhost:8080/file/010124-189.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010124-190.jpg] Теорема Коши: пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010124-191.jpg] голоморфна по [img: http://localhost:8080/file/010124-192.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/010124-193.jpg] и точка [img: http://localhost:8080/file/010124-194.jpg] Тогда существует [img: http://localhost:8080/file/010124-195.jpg] такое, что в области [img: http://localhost:8080/file/010124-196.jpg] существует решение [img: http://localhost:8080/file/010124-197.jpg] задачи Коши (7), единственное п голоморфное. Аналитич. продолжение решения [img: http://localhost:8080/file/010124-198.jpg] также будет решением системы (7), однако полученная в результате продолжения функция может иметь особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией от t. Возникают вопросы: какие особенности может иметь эта функция, как устроено решение в целом? В линейном случае получены окончательные ответы на эти вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010125-1.jpg] - рациональные функции от t, x. 2) Рассмотрим одно дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010125-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-3.jpg] - голоморфные по [img: http://localhost:8080/file/010125-4.jpg] функции в нек-рой области G. Точка [img: http://localhost:8080/file/010125-5.jpg] наз. (существенно) особой точкой уравнения (8), если [img: http://localhost:8080/file/010125-6.jpg] Выясним структуру решений в окрестности особой точки уравнения. Разложим [img: http://localhost:8080/file/010125-7.jpg] в ряды Тейлора: [img: http://localhost:8080/file/010125-8.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-9.jpg] - собственные значения матрицы [img: http://localhost:8080/file/010125-10.jpg] Имеет место теорема: пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-11.jpg] и ни одно из чисел [img: http://localhost:8080/file/010125-12.jpg] не является: а) целым неотрицательным числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда существуют окрестность Uточки [img: http://localhost:8080/file/010125-13.jpg], окрестность [img: http://localhost:8080/file/010125-14.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010125-15.jpg] и функции [img: http://localhost:8080/file/010125-16.jpg] такие, что: отображение [img: http://localhost:8080/file/010125-17.jpg] задаваемое этими функциями, является биголоморфным; дифференциальное уравнение (8) в новых переменных принимает вид (см. [6]): [img: http://localhost:8080/file/010125-18.jpg] Все решения уравнения (8) в новых переменных записываются в виде [img: http://localhost:8080/file/010125-19.jpg] Таким образом, особая точка уравнения является точкой ветвления бесконечного порядка для всех решений уравнения (8) (кроме тривиальных). Особые точки решения, совпадающие с особыми точками уравнения, наз, неподвижными. В отличие от линейного случая, решение нелинейного уравнения может иметь особые точки не только в особых точках уравнения; такие особые точки решения наз. подвижными. Справедлива теорема Пенлеве: решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-20.jpg] где Р - многочлен от хи х' с голоморфными по tкоэффициентами, не имеют подвижных трансцендентных особых точек (см. [7]). Если в уравнении (8) Риф суть многочлены от t, х, то в силу теоремы Пенлеве все подвижные особые точки являются алгебраическими. При замене [img: http://localhost:8080/file/010125-21.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010125-22.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010125-23.jpg], уравнение (8) примет вид [img: http://localhost:8080/file/010125-24.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-25.jpg] - многочлены. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-26.jpg] - корни уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-27.jpg] Точки [img: http://localhost:8080/file/010125-28.jpg] наз. бесконечно удаленными особыми точками уравнения (8); структуру решений в окрестности этих точек описывает приведенная выше теорема [6]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-29.jpg] - многочлены степени п. Поскольку [img: http://localhost:8080/file/010125-30.jpg] определяются своими коэффициентами и пара [img: http://localhost:8080/file/010125-31.jpg] задает то же уравнение, получают взаимно однозначное соответствие между уравнениями (8) и точками комплексного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/010125-32.jpg] X [img: http://localhost:8080/file/010125-33.jpg] Имеет место теорема: если удалить из [img: http://localhost:8080/file/010125-34.jpg] нек-рое множество меры нуль, то оставшиеся уравнения (8) обладают следующим свойством: все решения [img: http://localhost:8080/file/010125-35.jpg] всюду плотны в [img: http://localhost:8080/file/010125-36.jpg] (см. [8]). 3) Рассмотрим автономную систему [img: http://localhost:8080/file/010125-37.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-38.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/010125-39.jpg] наз. особой точкой системы (9), если [img: http://localhost:8080/file/010125-40.jpg] Справедлива теорема Пуанкаре. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-41.jpg] - особая точка автономной системы (9). Пусть, кроме того: а) элементарные делители матрицы Якобн [img: http://localhost:8080/file/010125-42.jpg] простые и б) собственные значения [img: http://localhost:8080/file/010125-43.jpg] этой матрицы лежат по одну сторону от нек-рой прямой в [img: http://localhost:8080/file/010125-44.jpg], проходящей через начало координат. Тогда существуют окрестности [img: http://localhost:8080/file/010125-45.jpg] н биголоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/010125-46.jpg] такое, что в переменных [img: http://localhost:8080/file/010125-47.jpg] автономная система (9) имеет вид (см. [9]): [img: http://localhost:8080/file/010125-48.jpg] В том случае, когда выполнено только условие а), можно с помощью преобразования [img: http://localhost:8080/file/010125-49.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010125-50.jpg] - формальный степенной ряд, привести систему (9) в окрестности особой точки к системе, к-рая интегрируется в квадратурах (см. [9], [10]). Однако сходимость этих рядов доказана при предположениях, близких к а), б). В случае, когда функция [img: http://localhost:8080/file/010125-51.jpg] н преобразование [img: http://localhost:8080/file/010125-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-53.jpg] вещественны при вещественных [img: http://localhost:8080/file/010125-54.jpg] доказана теорема (см. [11]), аналогичная теореме Пуанкаре. Структура решений автономной системы (9) в целом, где [img: http://localhost:8080/file/010125-55.jpg] - полиномы и n>=3, к 70-м гг. 20 в. не исследована.