Аналитическое многообразие

многообразие с аналитич. атласом. Структура n-мерного аналитич. многообразия над полным недискретно нормированным полем kна топологич. пространстве Мопределяется заданием на Маналитич. атласа над k, т. е. набора карт со значениями в kn, покрывающего М, любые две карты из к-рого связаны между собой аналитически. При этом считается, что два атласа определяют одну и ту же структуру, если их объединение является аналитпч. атласом. На А. м. Мопределен пучок Qростков k-значных аналитич. функций. Возникающий таким образом класс окольцованных пространств (М, 0).совпадает с классом гладких аналитич. ространств над k. В случае, если [img: http://localhost:8080/file/010127-130.jpg] - поле действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010127-131.jpg], говорят о вещественных аналитических многообразиях; если [img: http://localhost:8080/file/010127-132.jpg] - поле комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/010127-133.jpg],- о комплексных аналитич е-с к и х (или просто комплексных) многообразиях; если [img: http://localhost:8080/file/010127-134.jpg] - поле [img: http://localhost:8080/file/010127-135.jpg] -адических чисел [img: http://localhost:8080/file/010127-136.jpg],- о р-адических аналитических многообразиях. Примерами А. м. являются: n-мерное евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/010127-137.jpg], n-мерное проективное пространство над [img: http://localhost:8080/file/010127-138.jpg], аффинные и проективные алгебраич. многообразия над [img: http://localhost:8080/file/010127-139.jpg] без особых точек, группы Ли и их однородные пространства. Понятие А. м. восходит к Б. Риману и Ф. Клейну (В. Riemann, F. Klein), но впервые было точно сформулировано Г. Вейлем в книге [4] для случая римановых поверхностей, т. е. одномерных комплексных многообразий. В настоящее время (70-е гг.) А. м. естественно рассматривать как частный случай аналитических пространств, к-рые можно грубо описать как "многообразия с особыми точками". Понятие аналитпч. пространства возникло в 50-х гг. 20 в. и стало основным объектом теории аналитич. функций; многие фундаментальные результаты, полученные для А. м., удалось перенести на негладкий случай. Изложение общих свойств А. м. над произвольным полем можно найти в [3]. Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитич. многообразий. Очевидно, на всяком вещественном А. м. определена естественная структура многообразия класса [img: http://localhost:8080/file/010127-140.jpg]. 15 1936 X. Уитни (Н. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса [img: http://localhost:8080/file/010127-141.jpg] можно определить аналитич. структуру над [img: http://localhost:8080/file/010127-142.jpg], индуцирующую исходную гладкую структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert) о вложимости паракомпактного аналитич. многообразия над R в евклидово пространство следует, что эта аналитич. структура определена однозначно с точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного) (см. [2]). На каждом комплексном многообразии Мопределена естественная структура вещественного А. м. (удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. е. на вопрос о существовании и единственности комплексной структуры на заданном вещественном А. м., получен только в простейших случаях. Так, если М - связное двумерное вещественное А. м., то необходимыми и достаточными условиями существования комплексной структуры на Мявляются паракомпактность и ориентируемость, а задача классификации этих структур есть классич. задача о модулях риманоеых поверхностей. Имеется классификация компактных аналитических поверхностей (т. е. двумерных компактных комплексных многообразий), дающая частичный ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных вещественных многообразий. С другой стороны, при помощи топологич. методов можно указать классы вещественных многообразий, не допускающих почти комплексных и тем более комплексных структур. К таким многообразиям относятся сферы [img: http://localhost:8080/file/010127-143.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010127-144.jpg], 3. Описание комплексных структур, достаточно близких к заданной, дает теория деформаций аналитических структур, важную роль в к-рой играют банаховы А. м.- бесконечномерные аналоги А. м.