Аппеля многочлены

Аппеля полином ы, - класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. [img: http://localhost:8080/file/010129-77.jpg] определяется формальным равенством [img: http://localhost:8080/file/010129-78.jpg] в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010129-79.jpg] - формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/010129-80.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010129-81.jpg]. В явном виде А. м. An(z).выражаются через числа [img: http://localhost:8080/file/010129-82.jpg] следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010129-83.jpg] Условие [img: http://localhost:8080/file/010129-84.jpg] равносильно тому, что степень многочлена [img: http://localhost:8080/file/010129-85.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/010129-86.jpg]. Имеется другое, эквивалентное определение А. м. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010129-87.jpg] - дифференциальный оператор, вообще говоря, бесконечного порядка, определенный над алгеброй Ркомплексных многочленов переменного [img: http://localhost:8080/file/010129-88.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010129-89.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/010129-90.jpg] представляет собой образ функции [img: http://localhost:8080/file/010129-91.jpg] при отображении [img: http://localhost:8080/file/010129-92.jpg] Класс [img: http://localhost:8080/file/010129-93.jpg] А. м. определяется как совокупность всевозможных систем многочленов [img: http://localhost:8080/file/010129-94.jpg] с производящими функциями вида (1). Принадлежность системы [img: http://localhost:8080/file/010129-95.jpg] многочленов (степени п).классу [img: http://localhost:8080/file/010129-96.jpg] равносильна выполнению соотношений [img: http://localhost:8080/file/010129-97.jpg] Иногда при определении А. м. класса А (1) пользуются соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010129-98.jpg] к-рые, с точностью до нормировки, эквивалентны приведенным выше. А. м. класса А (1) используются при решении уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/010129-99.jpg] формальное равенство [img: http://localhost:8080/file/010129-101.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010129-100.jpg] позволяет записать решение (2) в виде [img: http://localhost:8080/file/010129-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010129-103.jpg] - А. м. с производящей функцией [img: http://localhost:8080/file/010129-104.jpg] В связи с этим особый интерес представляют разложения аналитич. функций в ряды по А. м. Кроме того, А. м. находят применение в различных задачах, относящихся к функциональным уравнениям, в том числе к дифференциальным уравнениям, отличным от (2), в вопросах интерполирования, теории приближения, в методах суммирования и др. (см., напр., [1] -[6]). С более общей позиции теория А. м. класса А (1) (инек-рые приложения) изложена в [6]. А. м. класса А (1) содержат в качестве частных случаев целый ряд классических последовательностей многочленов. Примерами, с точностью до нормировки, могут служить Бернулли многочлены [img: http://localhost:8080/file/010129-105.jpg] Эрмита многочлены [img: http://localhost:8080/file/010129-106.jpg] Лагерра многочлены [img: http://localhost:8080/file/010129-107.jpg] и т. д. Многочисленные примеры А. м. имеются в [2] и [3]. Существуют различные обобщения А. м., к-рые также носят назв. систем A.M. Сюда относятся А. м. с производящими функциями вида [img: http://localhost:8080/file/010129-108.jpg] а также А. м. с производящими функциями более общего характера: [img: http://localhost:8080/file/010129-109.jpg] (см., напр., [2] и [3]). Если [img: http://localhost:8080/file/010129-110.jpg] - функция, обратная функции [img: http://localhost:8080/file/010129-111.jpg], то принадлежность системы многочленов [img: http://localhost:8080/file/010129-112.jpg] к классу последовательностей А. м. с производящей функцией вида (3) равносильна выполнению соотношений [img: http://localhost:8080/file/010129-113.jpg] Имеется всего пять ортогональных с весом систем последовательностей А. м. на действительной оси, с производящими функциями вида (3); в том числе среди А. м. с производящими функциями вида (1) лишь одна система многочленов Эрмита является ортогональной с весом [img: http://localhost:8080/file/010129-114.jpg] на действительной оси (см. [7]). О разложениях в ряды по А. м. с производящими функциями вида (3) и (4), а также о связи этих А. м. с различными функциональными уравнениями см. [2], [7], [8]. Класс [img: http://localhost:8080/file/010129-115.jpg] - целое, А. м. определяется следующим образом: это есть множество всех систем многочленов [img: http://localhost:8080/file/010129-116.jpg], для каждой из к-рых имеет место (формальное) представление [img: http://localhost:8080/file/010129-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010129-118.jpg] - формальные степенные ряды, свободные члены к-рых таковы, что степень многочлена [img: http://localhost:8080/file/010129-119.jpg] равна п. Принадлежность последовательности [img: http://localhost:8080/file/010129-120.jpg] многочленов степени [img: http://localhost:8080/file/010129-121.jpg] классу [img: http://localhost:8080/file/010129-122.jpg] равносильна выполнению соотношений [img: http://localhost:8080/file/010129-123.jpg] Вопросы разложения аналитич. функций в ряды по А. м. класса [img: http://localhost:8080/file/010129-124.jpg] исследованы в [9]. Они тесно примыкают к задаче о нахождении аналитич. решений функциональных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/010129-125.jpg] A.м. от двух переменных введены П. Аппелем [10]. Они определяются равенствами [img: http://localhost:8080/file/010129-126.jpg] в к-рых полагают [img: http://localhost:8080/file/010129-127.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010129-128.jpg]; эти А. м. представляют собой аналог Якоби многочленов. А. м. [img: http://localhost:8080/file/010129-129.jpg] ортогональны с весом [img: http://localhost:8080/file/010129-130.jpg] любому многочлену от двух переменных, степени, меньшей [img: http://localhost:8080/file/010129-131.jpg], по области Т, где Т - треугольник: [img: http://localhost:8080/file/010129-132.jpg] однако они не образуют системы функций, ортогональных с весом [img: http://localhost:8080/file/010129-133.jpg] в области Т(см., напр., [3]).