Аппроксимативная компактность

свойство множества Мв метрич. пространстве X, состоящее в том, что для любого [img: http://localhost:8080/file/010130-1.jpg] любая минимизирующая последовательность [img: http://localhost:8080/file/010130-2.jpg] (т. е. последовательность, обладающая свойством [img: http://localhost:8080/file/010130-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010130-4.jpg] имеет предельную точку [img: http://localhost:8080/file/010130-5.jpg] А. к. данного множества обеспечивает существование элемента наилучшего приближения для любого [img: http://localhost:8080/file/010130-6.jpg]. Понятие А. к. введено (см. [1]) в связи с изучением чебышевских множеств в банаховом пространстве, и это позволило описать выпуклые чебышевские множества в некоторых пространствах. Именно, пусть [img: http://localhost:8080/file/010130-7.jpg] - равномерно выпуклое и гладкое банахово пространство. Для того чтобы чебышевское множество. [img: http://localhost:8080/file/010130-8.jpg] было выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы оно было аппроксимативно компактным. Отсюда следует, в частности, что множество рациональных дробей с фиксированной степенью числителя и знаменателя не является в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010130-9.jpg] чебышевским множеством, если степень знаменателя не меньше единицы [1]. О последующих исследованиях в этом направлении см. [2].