Аппроксимация дифференциального оператора разностным

приближение дифференциального оператора таким зависящим от параметра оператором, результат применения к-рого к функции определяется ее значениями на нек-ром дискретном множестве точек - сетке, уточняющееся при стремлении параметра (шага сетки) к нулю. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010130-35.jpg] - дифференциальный оператор, переводящий каждую функцию ииз класса функций [img: http://localhost:8080/file/010130-36.jpg] в функцию [img: http://localhost:8080/file/010130-37.jpg] из линейного нормированного пространства F. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010130-38.jpg] - область определения функций из [img: http://localhost:8080/file/010130-39.jpg] и в [img: http://localhost:8080/file/010130-40.jpg] выделено нек-рое дискретное подмножество - сетка [img: http://localhost:8080/file/010130-41.jpg] ("сгущающаяся" при [img: http://localhost:8080/file/010130-42.jpg]). Рассматривается множество [img: http://localhost:8080/file/010130-43.jpg] всех функций [img: http://localhost:8080/file/010130-44.jpg], определенных только на сетке и совпадающих в точках сетки с и. Разностным оператором наз. всякий оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-45.jpg], переводящий сеточные функции из [img: http://localhost:8080/file/010130-46.jpg] в функции [img: http://localhost:8080/file/010130-47.jpg] из F. Говорят, что оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-48.jpg] аппроксимирует (аппроксимирует с порядком [img: http://localhost:8080/file/010130-49.jpg]) дифференциальный оператор Lна классе U, если для любой функции uОU при h->0 [img: http://localhost:8080/file/010130-50.jpg] Иногда аппроксимацию понимают как равенство [img: http://localhost:8080/file/010130-51.jpg] в смысле той или иной слабой сходимости. А. д. о. р. используется для приближенного вычисления функции Lu по таблице [и]h значений функции ии для аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Существуют два основных приема построения оператора Lh, аппроксимирующего L. Первый состоит в том, что определяют [img: http://localhost:8080/file/010130-52.jpg] как результат применения дифференциального оператора Lк функции из [img: http://localhost:8080/file/010130-53.jpg], полученной с помощью той пли иной интерполяционной формулы из сеточной функции [img: http://localhost:8080/file/010130-54.jpg] Второй способ состоит в следующем. В области [img: http://localhost:8080/file/010130-55.jpg] определения функции f из Fвводят сетку [img: http://localhost:8080/file/010130-56.jpg] и рассматривают линейное пространство [img: http://localhost:8080/file/010130-57.jpg] сеточных функций, определенных на [img: http://localhost:8080/file/010130-58.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-59.jpg] строят как произведение двух операторов: оператора, переводящего функцию [img: http://localhost:8080/file/010130-60.jpg] в сеточную функцию [img: http://localhost:8080/file/010130-61.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010130-62.jpg], то есть в приближенную таблицу значений функции [img: http://localhost:8080/file/010130-63.jpg], и оператора восполнения [img: http://localhost:8080/file/010130-64.jpg] с сетки [img: http://localhost:8080/file/010130-65.jpg] на всю область [img: http://localhost:8080/file/010130-66.jpg]. Напр., для приближения оператора дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/010130-67.jpg] строится сетка [img: http://localhost:8080/file/010130-68.jpg], состоящая из точек [img: http://localhost:8080/file/010130-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010130-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010130-71.jpg] и сетка Dh F состоящая из точек [img: http://localhost:8080/file/010130-72.jpg] Значения оператора Lh[u]h в точках х k* определяются равенствами [img: http://localhost:8080/file/010130-73.jpg] Затем [img: http://localhost:8080/file/010130-74.jpg] доопределяется вне [img: http://localhost:8080/file/010130-75.jpg] кусочно линейно с [img: http://localhost:8080/file/010130-76.jpg] изломами, быть может, только в точках [img: http://localhost:8080/file/010130-77.jpg] Пусть норма в [img: http://localhost:8080/file/010130-78.jpg] определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010130-79.jpg] Тогда на классе функций [img: http://localhost:8080/file/010130-80.jpg], имеющих ограниченную третью производную, при [img: http://localhost:8080/file/010130-81.jpg] оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-82.jpg] аппроксимирует [img: http://localhost:8080/file/010130-83.jpg] с порядком [img: http://localhost:8080/file/010130-84.jpg] соответственно. На классе [img: http://localhost:8080/file/010130-85.jpg] функций с ограниченными вторыми производными аппроксимация при любом [img: http://localhost:8080/file/010130-86.jpg] имеет лишь первый порядок. Иногда задачу А. д. о. р. условно считают решенной, если указан способ построения сеточной функции [img: http://localhost:8080/file/010130-87.jpg] определенной только в точках сетки [img: http://localhost:8080/file/010130-88.jpg] оставляя задачу о восполнении функции [img: http://localhost:8080/file/010130-89.jpg] всюду на [img: http://localhost:8080/file/010130-90.jpg] вне рассмотрения. В таком случае для определения аппроксимации пространство [img: http://localhost:8080/file/010130-91.jpg] считают нормированным и притом относительно сетки п нормы предполагается, что для всякой функции [img: http://localhost:8080/file/010130-92.jpg] совпадающая с ней в точках [img: http://localhost:8080/file/010130-93.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010130-94.jpg] удовлетворяет равенству [img: http://localhost:8080/file/010130-95.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-96.jpg] понимают как оператор из [img: http://localhost:8080/file/010130-97.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010130-98.jpg] и говорят, что оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-99.jpg] аппроксимирует (аппроксимирует с порядком [img: http://localhost:8080/file/010130-100.jpg]) дифференциальный оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-101.jpg] на множестве [img: http://localhost:8080/file/010130-102.jpg], если при [img: http://localhost:8080/file/010130-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010130-104.jpg] Для построения оператора [img: http://localhost:8080/file/010130-105.jpg], аппроксимирующего [img: http://localhost:8080/file/010130-106.jpg] на достаточно гладких функциях с заданным порядком, часто прибегают к замене каждой производной, входящей в выражение [img: http://localhost:8080/file/010130-107.jpg], ее разностной аппроксимацией, опираясь для этого на следующий факт. При любых натуральных [img: http://localhost:8080/file/010130-108.jpg] и при любом [img: http://localhost:8080/file/010130-109.jpg] в равенстве [img: http://localhost:8080/file/010130-110.jpg] используя метод неопределенных коэффициентов и формулу Тейлора, можно так подобрать числа [img: http://localhost:8080/file/010130-111.jpg], не зависящие от h., чтобы для любой функции [img: http://localhost:8080/file/010130-112.jpg], имеющей [img: http://localhost:8080/file/010130-113.jpg] ограниченных производных, выполнялось веравенство вида [img: http://localhost:8080/file/010130-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010130-115.jpg] зависит только от [img: http://localhost:8080/file/010130-116.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-117.jpg]. Напр., пусть требуется построить аппроксимирующий оператор для оператора Лапласа [img: http://localhost:8080/file/010130-118.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010130-119.jpg] - замкнутый квадрат [img: http://localhost:8080/file/010130-120.jpg] - его внутренность [img: http://localhost:8080/file/010130-121.jpg] Задается [img: http://localhost:8080/file/010130-122.jpg] - натуральное, и строится сетка, причем к DhU относятся точки [img: http://localhost:8080/file/010130-123.jpg] а к [img: http://localhost:8080/file/010130-124.jpg] - точки [img: http://localhost:8080/file/010130-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010130-126.jpg] - целые. Так как [img: http://localhost:8080/file/010130-127.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010130-128.jpg] на достаточно гладких функциях аппроксимируется со вторым порядком разностным оператором [img: http://localhost:8080/file/010130-129.jpg], если положить в точках DhF [img: http://localhost:8080/file/010130-130.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010130-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-132.jpg] - значения функций [img: http://localhost:8080/file/010130-133.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-134.jpg] в точке (mh, nh). Существуют отличные от указанного способы построения операторов [img: http://localhost:8080/file/010130-135.jpg], аппроксимирующих оператор Lна решениях [img: http://localhost:8080/file/010130-136.jpg] дифференциального уравнения Lu=0 и удовлетворяющих дополнительным требованиям.