Аппроксимация дифференциального уравнения разностным

приближение дифференциального уравнения системой алгебраич. уравнений относительно значений искомых функций на нек-рой сетке, к-рое уточняется при стремлении параметра (шага сетки) к нулю. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010130-137.jpg] нек-рый дифференциальный оператор, а [img: http://localhost:8080/file/010130-138.jpg] - нек-рый разностный оператор (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным). Говорят, что разностное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010130-139.jpg] аппроксимирует дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010130-140.jpg] на решении ис порядком [img: http://localhost:8080/file/010130-141.jpg] если оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-142.jpg] аппроксимирует оператор Lна решении ис порядком р, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/010130-143.jpg] Простейший пример построения разностного уравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-144.jpg], аппроксимирующего дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010130-145.jpg] на решениях и, состоит в замене каждой производной, входящей в выражение [img: http://localhost:8080/file/010130-146.jpg] аппроксимирующим ее разностным аналогом. Напр., уравнение [img: http://localhost:8080/file/010130-147.jpg] аппроксимируется со 2-м порядком разностным уравнением [img: http://localhost:8080/file/010130-148.jpg] где сетки [img: http://localhost:8080/file/010130-149.jpg] состоят из точек [img: http://localhost:8080/file/010130-150.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/010130-151.jpg] - значение функции [img: http://localhost:8080/file/010130-154.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010130-152.jpg]; для уравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-153.jpg] напр., двумя различными разностными аппроксимациями на гладких решениях являются: [img: http://localhost:8080/file/010130-155.jpg] (явная схема), и [img: http://localhost:8080/file/010130-156.jpg] (неявная схема), где сетки [img: http://localhost:8080/file/010130-157.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-158.jpg] состоят из точек [img: http://localhost:8080/file/010130-159.jpg] - целые, а [img: http://localhost:8080/file/010130-160.jpg] - значение функции [img: http://localhost:8080/file/010130-161.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010130-162.jpg] сетки. Существуют разностные операторы [img: http://localhost:8080/file/010130-163.jpg], аппроксимирующие дифференциальный оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-164.jpg] особенно хорошо только на решениях иуравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-165.jpg] и хуже на других функциях. Напр., оператор [img: http://localhost:8080/file/010130-166.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010130-167.jpg] аппроксимирует оператор на [img: http://localhost:8080/file/010130-168.jpg] произвольных гладких функциях [img: http://localhost:8080/file/010130-169.jpg] с первым порядком относительно [img: http://localhost:8080/file/010130-170.jpg], а на решениях уравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-171.jpg] со вторым [функция [img: http://localhost:8080/file/010130-172.jpg] предполагается достаточно гладкой]. При численном решении краевых задач для дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-173.jpg] с помощью разностного уравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-174.jpg] существенны свойства аппроксимации оператора Lоператором [img: http://localhost:8080/file/010130-175.jpg] на решениях иуравнения [img: http://localhost:8080/file/010130-176.jpg], а не на произвольных гладких функциях. Для широкого класса дифференциальных уравнений и систем уравнений существуют способы построения аппроксимирующих их разностных уравнений, при к-рых выполняются различные дополнительные требования: устойчивость решения [img: http://localhost:8080/file/010130-177.jpg] относительно ошибок округления, допускаемых при вычислениях; выполнение для [img: http://localhost:8080/file/010130-178.jpg] тех или иных интегральных соотношений, имеющих место для решения идифференциального уравнения; возможность использовать произвольные сетки [img: http://localhost:8080/file/010130-179.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-180.jpg] (важная при расчете движения сплошной среды); малое число арифметич. действий, необходимых для вычисления решения, и т. д. А. д. у. р. является элементом аппроксимации дифференциальной краевой задачи разностной с целью приближенного вычисления решения первой.