Аргумента принцип

геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть [img: http://localhost:8080/file/010131-5.jpg] - ограниченная область на комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010131-6.jpg], причем граница [img: http://localhost:8080/file/010131-7.jpg] является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с [img: http://localhost:8080/file/010131-8.jpg]; если функция [img: http://localhost:8080/file/010131-9.jpg] мероморфиа в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010131-10.jpg] н на [img: http://localhost:8080/file/010131-11.jpg] не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей [img: http://localhost:8080/file/010131-12.jpg] и числом полюсов [img: http://localhost:8080/file/010131-13.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010131-14.jpg] (с учетом кратностей) равна деленному на [img: http://localhost:8080/file/010131-15.jpg] приращению аргумента [img: http://localhost:8080/file/010131-16.jpg] при положительном обходе [img: http://localhost:8080/file/010131-17.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010131-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010131-19.jpg] обозначает какую-либо непрерывную ветвь [img: http://localhost:8080/file/010131-20.jpg] на кривой [img: http://localhost:8080/file/010131-21.jpg]. Выражение справа равно индексу [img: http://localhost:8080/file/010131-22.jpg] кривой [img: http://localhost:8080/file/010131-23.jpg] относительно точки [img: http://localhost:8080/file/010131-24.jpg] А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. н. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия - Руше теоремы. Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности [img: http://localhost:8080/file/010131-25.jpg] в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010131-26.jpg] можно заменить следующим: [img: http://localhost:8080/file/010131-27.jpg] имеет в [img: http://localhost:8080/file/010131-28.jpg] конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на [img: http://localhost:8080/file/010131-29.jpg]. Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную рпмаиову поверхность, при этом ограниченность [img: http://localhost:8080/file/010131-30.jpg] заменяется условием, что [img: http://localhost:8080/file/010131-31.jpg] - компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на Сэквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если [img: http://localhost:8080/file/010131-32.jpg] мероморфна в окрестности области [img: http://localhost:8080/file/010131-33.jpg], ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и [img: http://localhost:8080/file/010131-34.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010131-35.jpg] не имеет нулей и полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010131-36.jpg], справедливо равенство: [img: http://localhost:8080/file/010131-37.jpg] где первая сумма распространяется на все нули, а вторая - на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений [img: http://localhost:8080/file/010131-38.jpg] непрерывно продолжающихся на [img: http://localhost:8080/file/010131-39.jpg] и таких, что [img: http://localhost:8080/file/010131-40.jpg] Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть [img: http://localhost:8080/file/010131-41.jpg] - ограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/010131-42.jpg] с жор-дановой границей [img: http://localhost:8080/file/010131-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010131-44.jpg] есть отображение, голоморфное в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010131-45.jpg] и такое, что [img: http://localhost:8080/file/010131-46.jpg]; тогда число прообразов 0 в [img: http://localhost:8080/file/010131-47.jpg] (с учетом кратностей) равно [img: http://localhost:8080/file/010131-48.jpg].