Арифметический род

численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X(над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность пи к-рое определяется однородным идеалом I в кольце [img: http://localhost:8080/file/010132-6.jpg], арифметический род [img: http://localhost:8080/file/010132-7.jpg] выражается через свободный член [img: http://localhost:8080/file/010132-8.jpg] Гильберта многочлена [img: http://localhost:8080/file/010132-9.jpg] идеала [img: http://localhost:8080/file/010132-10.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/010132-11.jpg] Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему: [img: http://localhost:8080/file/010132-12.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010132-13.jpg] - эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке [img: http://localhost:8080/file/010132-14.jpg]. В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность [img: http://localhost:8080/file/010132-15.jpg] относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а [img: http://localhost:8080/file/010132-16.jpg] есть поле комплексных чисел, [img: http://localhost:8080/file/010132-17.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010132-18.jpg] - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на Х. При [img: http://localhost:8080/file/010132-19.jpg] такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n=1, то [img: http://localhost:8080/file/010132-20.jpg] есть род кривой X;если n=2, то [img: http://localhost:8080/file/010132-21.jpg] где q- иррегулярность поверхности [img: http://localhost:8080/file/010132-22.jpg] - геометрический род поверхности X. Для любого дивизора [img: http://localhost:8080/file/010132-23.jpg] на нормальном многообразии XО. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического рода [img: http://localhost:8080/file/010132-24.jpg] как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка [img: http://localhost:8080/file/010132-25.jpg], соответствующего дивизору D. Если дивизоры [img: http://localhost:8080/file/010132-26.jpg] алгебраически эквивалентны, то [img: http://localhost:8080/file/010132-27.jpg] А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля kнулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности [img: http://localhost:8080/file/010132-28.jpg]