Асимптотическая линия

линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к-рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением: [img: http://localhost:8080/file/010132-230.jpg] где II - вторая квадратичная форма поверхности. Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F(в точках Г); при этом квадрат кручения А. л. равен модулю гауссовой кривизны Кповерхности F (теорема Бельтрами- Эннепера). Прямолинейный отрезок [img: http://localhost:8080/file/010132-231.jpg] (напр., отрезок образующей линейчатой поверхности) всегда является А. л. Если Г - параболич. кривая (напр., параллель тора, разделяющая области с гауссовой кривизной разных знаков), то она будет А. л. Другим примером является ребро возврата на псевдосфере. Непараболич. кривая, па к-рой [img: http://localhost:8080/file/010132-232.jpg], представляет собой ребро возврата семейства А. л. Через каждую точку параболич. области (где [img: http://localhost:8080/file/010132-233.jpg], но [img: http://localhost:8080/file/010132-234.jpg]) проходит единственная А. л., совпадающая с прямолинейной образующей. Через каждую точку гиперболич. области (где [img: http://localhost:8080/file/010132-235.jpg]) проходят две и только две А. л., составляющие так наз. асимптотическую сеть, играющую важную роль в исследовании пространственной формы отрицательной кривизны поверхностей. Так, напр., на полной поверхности эта сеть гомеоморфна декартовой сети на плоскости, если [img: http://localhost:8080/file/010132-236.jpg] На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотич. сеть является чебышевской сетью, причем площадь Sчетырехугольника, образованного А. л., пропорциональна избытку суммы его внутренних углов [img: http://localhost:8080/file/010132-237.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/010132-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010132-239.jpg] (формула Хаццидакиса). При проективном преобразовании я пространства А. л. поверхности Fпереходят в А. л. преобразованной поверхности [img: http://localhost:8080/file/010132-240.jpg]. Аналогично определяются А. л. и на поверхностях трехмерного риманова пространства. Известны различные пути обобщений понятия А. л. на многообразиях, погруженных в многомерное пространство; наиболее употребительное из них использует понятие второй квадратичной формы, ассоциированной с определенным нормальным вектором.