Асимптотическое разложение

функции [img: http://localhost:8080/file/010133-158.jpg] - такой ряд [img: http://localhost:8080/file/010133-159.jpg] что при любом целом [img: http://localhost:8080/file/010133-160.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010133-161.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010133-162.jpg] - нек-рая заданная асимптотическая последовательность при [img: http://localhost:8080/file/010133-163.jpg] В этом случае пишется также [img: http://localhost:8080/file/010133-164.jpg] Если ясно, о какой последовательности [img: http://localhost:8080/file/010133-165.jpg] идет речь, то в (2) она не указывается. Разложение (2) наз. асимптотическим разложением в смысле Эрдейи [2]. Разложение вида [img: http://localhost:8080/file/010133-166.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010133-167.jpg] - постоянные, наз. асимптотическим разложением в смысле Пуанкаре. При данной асимптотич. последовательности функций [img: http://localhost:8080/file/010133-168.jpg] А. р. (3), в отличие от ее разложения (2), однозначно определяется самой функцией [img: http://localhost:8080/file/010133-169.jpg]. Если (1) имеет место для конечного числа значений [img: http://localhost:8080/file/010133-170.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010133-171.jpg], то говорят об А. р. с точностью до [img: http://localhost:8080/file/010133-172.jpg]. Ряды [img: http://localhost:8080/file/010133-173.jpg] наз. асимптотическими рядами. Как правило, такие ряды расходятся. Наиболее употребительны асимптотические степенные ряды;соответствующие им А. р. являются А. р. в смысле Пуанкаре. Пример А. р. в смысле Эрдейи: [img: http://localhost:8080/file/010133-174.jpg] Понятия А. р. функции и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре (см. [1]) в связи с задачами небесной механики. Частные случаи А. р. были открыты ц применялись еще в 18 в. (см. [2]). Асимптотич. разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики н физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотич. разложения решений. Кроме того, численные методы часто отказывают именно в тех случаях, когда А. р. удается сравнительно просто найти.