Аффинная связность

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство [img: http://localhost:8080/file/010135-49.jpg] имеет типовым слоем аффинное пространство [img: http://localhost:8080/file/010135-50.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/010135-51.jpg]. Структурой такого Ек каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010135-52.jpg] присоединяется экземпляр аффинного пространства [img: http://localhost:8080/file/010135-53.jpg], к-рый отождествляется с касательным центроаффинным пространством [img: http://localhost:8080/file/010135-54.jpg]. А. с. предусматривает такое сопоставление каждой гладкой кривой [img: http://localhost:8080/file/010135-55.jpg] с началом [img: http://localhost:8080/file/010135-56.jpg] и каждой ее точке [img: http://localhost:8080/file/010135-57.jpg] аффинного отображения [img: http://localhost:8080/file/010135-58.jpg], что удовлетворяется ниже сформулированное условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в каждой из к-рых фиксировано гладкое поле аффинного репера в [img: http://localhost:8080/file/010135-59.jpg], у к-рого начало совпадает с [img: http://localhost:8080/file/010135-60.jpg] (т. е. фиксированы пгладких векторных полей, линейно независимых в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010135-61.jpg] области). Требуется, чтобы при [img: http://localhost:8080/file/010135-62.jpg], когда [img: http://localhost:8080/file/010135-63.jpg] перемещается по [img: http://localhost:8080/file/010135-64.jpg] до [img: http://localhost:8080/file/010135-65.jpg], отображение [img: http://localhost:8080/file/010135-66.jpg] стремилось к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего определялось относительно некоторого из реперов системой линейных дифференциальных форм [img: http://localhost:8080/file/010135-67.jpg] Итак, образом при [img: http://localhost:8080/file/010135-68.jpg] репера в точке [img: http://localhost:8080/file/010135-69.jpg] является система из точки в [img: http://localhost:8080/file/010135-70.jpg] с радиус-вектором [img: http://localhost:8080/file/010135-71.jpg] и пвекторов [img: http://localhost:8080/file/010135-72.jpg] где X - касательный вектор к Lв точке х 0, причем [img: http://localhost:8080/file/010135-73.jpg] Многообразие Мс заданной на ней А. с. наз. пространством аффинной связности. При преобразовании репера поля в произвольной точке [img: http://localhost:8080/file/010135-74.jpg] согласно формулам [img: http://localhost:8080/file/010135-75.jpg] т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства Рреперов в касательных пространствах [img: http://localhost:8080/file/010135-76.jpg] с началами в точке [img: http://localhost:8080/file/010135-77.jpg], формы (1) заменяются следующими 1-формами на Р: [img: http://localhost:8080/file/010135-78.jpg] а 2-формы [img: http://localhost:8080/file/010135-79.jpg] преобразуются так: [img: http://localhost:8080/file/010135-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010135-81.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-82.jpg] составлены согласно (3) из форм (2). Уравнения (3) называются структурными уравнениями А. с. на М, где левые части - так наз. кручения формы [img: http://localhost:8080/file/010135-83.jpg] и кривизны формы [img: http://localhost:8080/file/010135-84.jpg] - полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями [img: http://localhost:8080/file/010135-85.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010135-86.jpg] Любые 1-формы [img: http://localhost:8080/file/010135-87.jpg] заданные на Ри удовлетворяющие уравнениям (3) с левыми частями вида (4), определяют нек-рую А. с. на М. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010135-88.jpg] для кривой [img: http://localhost:8080/file/010135-89.jpg] получается следующим ооразом: нужно выбрать нек-рое гладкое поле репера в координатной окрестности начала [img: http://localhost:8080/file/010135-90.jpg] кривой L, п образ репера в точке [img: http://localhost:8080/file/010135-91.jpg] определить как решение [img: http://localhost:8080/file/010135-92.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010135-93.jpg] при начальных условиях [img: http://localhost:8080/file/010135-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-95.jpg] - уравнения кривой L. Кривая, описываемая в [img: http://localhost:8080/file/010135-96.jpg] точкой с радиус-вектором [img: http://localhost:8080/file/010135-97.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010135-98.jpg], наз. разверткой кривой L. Поле репера в координатной окрестности можно выбрать так, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010135-99.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010135-100.jpg] На пересечении координатных окрестностей [img: http://localhost:8080/file/010135-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-102.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010135-103.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-104.jpg] составляют, соответственно, кручения тензор и кривизны тензор А. с. на М. А. с. на Мможет быть задана системой функций [img: http://localhost:8080/file/010135-105.jpg] на каждой координатной окрестности, преобразующейся на пересечении окрестностей по формуле (5) - так наз. объектом А. с. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010135-106.jpg] получается с помощью системы (5), в к-рую следует подставить [img: http://localhost:8080/file/010135-107.jpg] Если в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010135-108.jpg] дано векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010135-109.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/010135-110.jpg] вектор [img: http://localhost:8080/file/010135-111.jpg] отображается в вектор [img: http://localhost:8080/file/010135-112.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010135-113.jpg] - решение системы (5)), дифференциал к-рого в [img: http://localhost:8080/file/010135-115.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010135-116.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010135-114.jpg] наз. ковариантным дифференциалом поля Xотносительно данной А. с. Здесь [img: http://localhost:8080/file/010135-117.jpg] образуют тензорное поле, наз. ковариантной производной поля [img: http://localhost:8080/file/010135-118.jpg] Если дано второе векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010135-119.jpg] то определяется ковариантная производная поля X в направлении Y: [img: http://localhost:8080/file/010135-120.jpg] к-рая относительно произвольного поля репера может быть определена также формулой [img: http://localhost:8080/file/010135-121.jpg] А. с. на Мможет быть задана и как билинейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010135-122.jpg], к-рый двум векторным полям [img: http://localhost:8080/file/010135-123.jpg] ставит в соответствие третье [img: http://localhost:8080/file/010135-125.jpg] и обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010135-124.jpg] где f - гладкая функция на М. Связь с вышеуказанными способами задания устанавливается формулой: [img: http://localhost:8080/file/010135-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010135-127.jpg] - поле репера; поля тензоров кручения и кривизны [img: http://localhost:8080/file/010135-128.jpg] определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/010135-129.jpg] Векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010135-130.jpg] наз. параллельным вдоль кривой [img: http://localhost:8080/file/010135-131.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010135-132.jpg] тождественно относительно [img: http://localhost:8080/file/010135-133.jpg], т. е. если вдоль [img: http://localhost:8080/file/010135-134.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-135.jpg] Параллельными векторными полями осуществляется параллельное перенесение векторов (и вообще тензоров) в А. с., представляющее собой линейное отображение касательных векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010135-136.jpg], определяемые отображением [img: http://localhost:8080/file/010135-137.jpg] В этом смысле каждая А. с. порождает нек-рую линейную связность на М. Кривая Lназ. геодезической линией в данной А. с., если ее развертка является прямой линией; другими словами, если в подходящей параметризации ее касательное векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010135-138.jpg] параллельно вдоль ее. Относительно локальной координатной системы геодезич. линии определяются системой [img: http://localhost:8080/file/010135-139.jpg] Через каждую точку в каждом направлении проходит одна геодезическая. Существует взаимно однозначное соответствие между А. с. на Ми связностями в главных расслоенных пространствах свободных аффинных реперов в [img: http://localhost:8080/file/010135-140.jpg] ими порождаемыми. Замкнутым кривым с началом и концом в хсоответствуют аффинные преобразования [img: http://localhost:8080/file/010135-141.jpg] к-рые образуют неоднородную голономии группу данной А. с. Соответствующие линейные автоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010135-142.jpg] образуют однородную группу голономии. Согласно теореме о голономии алгебры Ли этих групп определяются 2-формами кручения [img: http://localhost:8080/file/010135-143.jpg] и кривизны [img: http://localhost:8080/file/010135-144.jpg] Для последних имеют место тождества Бианки: [img: http://localhost:8080/file/010135-145.jpg] к-рые, в частности, для А. с. без кручения, когда [img: http://localhost:8080/file/010135-146.jpg] сводятся к следующим: [img: http://localhost:8080/file/010135-147.jpg] Понятие А. с. возникло в 1917 в римановоп геометрии (в виде Леви-Чивита связности);самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 в работах Г. Вейля [1] и Э. Картана [2].