База

топологического пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-1.jpg] (база топологии, базис топо-логпи, открытая база) - семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-2.jpg] открытых подмножеств [img: http://localhost:8080/file/010201-3.jpg] такое, что каждое открытое множество [img: http://localhost:8080/file/010201-4.jpg] является объединением элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-5.jpg] Понятие В.- одно пз основных в топологии: во многих вопросах, относящихся к открытым множествам нек-ро-го пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его Б. Пространство может иметь много В., наибольшую из к-рых образует семейство всех открытых множеств. Минимум мощностей всех Б. наз. весом топологич. пространства X. В пространстве веса [img: http://localhost:8080/file/010201-6.jpg] существует всюду плотное множество мощности [img: http://localhost:8080/file/010201-7.jpg]. Пространства со счетной Б. наз. также пространствами со второй аксиомой счетности. Двойственное понятие замкнутой Б., образованной дополнениями к элементам Б., мало употребительно. Локальной Б. пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-8.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010201-9.jpg] {базой точки [img: http://localhost:8080/file/010201-10.jpg]) наз. семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-11.jpg] его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности [img: http://localhost:8080/file/010201-12.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010201-13.jpg] найдется элемент [img: http://localhost:8080/file/010201-14.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/010201-15.jpg] Пространства, имеющие счетную локальную Б. в каждой точке, наз. также пространствами с первой аксиомой счетностп. Семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-16.jpg] открытых в [img: http://localhost:8080/file/010201-17.jpg] множеств является Б. тогда н только тогда, когда оно является локальной Б. каждой его точки [img: http://localhost:8080/file/010201-18.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010201-19.jpg] - нек-рые кардинальные числа. Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-20.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-21.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010201-22.jpg] -точечной, если каждая точка [img: http://localhost:8080/file/010201-23.jpg] принадлежит не более чем [img: http://localhost:8080/file/010201-24.jpg] элементам семейства [img: http://localhost:8080/file/010201-25.jpg]; в частности, при [img: http://localhost:8080/file/010201-26.jpg] Б. наз. дизъюнктной, при конечном m- точечно конечной, при [img: http://localhost:8080/file/010201-27.jpg] - точечно счетной. Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-28.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-29.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010201-30.jpg] -локальной, если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010201-31.jpg] существует ее окрестность [img: http://localhost:8080/file/010201-32.jpg], пересекающаяся с не более чем [img: http://localhost:8080/file/010201-33.jpg] элементами семейства [img: http://localhost:8080/file/010201-34.jpg]; в частности, при [img: http://localhost:8080/file/010201-35.jpg] Б. наз. дискретной, при конечном т- локально конечной, при [img: http://localhost:8080/file/010201-36.jpg] - локально счетной. Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-37.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010201-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-39.jpg] -точечной ([img: http://localhost:8080/file/010201-40.jpg] -локальной), если она является объединением множества мощности [img: http://localhost:8080/file/010201-41.jpg] точечных (m-локальных) В.; таковы, напр., при [img: http://localhost:8080/file/010201-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-43.jpg] -дизъюнктные, [img: http://localhost:8080/file/010201-44.jpg] -точечно конечные, [img: http://localhost:8080/file/010201-45.jpg] -дискретные, [img: http://localhost:8080/file/010201-46.jpg] -локально конечные Б. Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной Б. или с первой аксиомой счетностн и точечно счетной Б. метризуемо; регулярное пространство с s-днскретной или с s-локально конечной Б. мет-ризуемо (обратное верно, однако, лишь для первого утверждения). Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-47.jpg] пространства Xназ. равномерной ([img: http://localhost:8080/file/010201-48.jpg] -равномерной), если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010201-49.jpg] (каждого бикомпактного подмножества [img: http://localhost:8080/file/010201-50.jpg]) и каждой ее (его) окрестности [img: http://localhost:8080/file/010201-51.jpg] лишь конечное число элементов Б. содержит [img: http://localhost:8080/file/010201-52.jpg] (пересекается с [img: http://localhost:8080/file/010201-53.jpg]) и одновременно пересекается с дополнением [img: http://localhost:8080/file/010201-54.jpg]. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-55.jpg] метризуемо тогда п только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной Б. (колмогоров-ским, пли [img: http://localhost:8080/file/010201-56.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010201-57.jpg] -равномерной Б.). Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-58.jpg] пространства Xназ. регулярной, если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010201-59.jpg] и произвольной ее окрестности [img: http://localhost:8080/file/010201-60.jpg] существует такая окрестность [img: http://localhost:8080/file/010201-61.jpg], что множество всех элементов Б., пересекающихся одновременно с [img: http://localhost:8080/file/010201-62.jpg] п [img: http://localhost:8080/file/010201-63.jpg], конечно. Для метризуемости достижимого или Т 1 -пространства необходимо и достаточно наличие в нем регулярной Б. Обобщением понятия Б. является так наз. [img: http://localhost:8080/file/010201-64.jpg] -база (решеточная Б.) - семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-65.jpg] открытых в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010201-66.jpg] множеств такое, что каждое непустое открытое в [img: http://localhost:8080/file/010201-67.jpg] множество содержит непустое множество из [img: http://localhost:8080/file/010201-68.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010201-69.jpg] плотно в [img: http://localhost:8080/file/010201-70.jpg] по Хаусдорфу. Всякая Б. является [img: http://localhost:8080/file/010201-71.jpg] -базой; обратное неверно, напр., в Стоуна - Чеха бикомпактном расширении в [img: http://localhost:8080/file/010201-72.jpg] множества натуральных чисел множество [img: http://localhost:8080/file/010201-73.jpg] образует лишь [img: http://localhost:8080/file/010201-74.jpg] -базу.