Базис

множества X - минимальное порождающее его подмножество В. Порождение означает, что применением операций нек-рого класса [img: http://localhost:8080/file/010201-75.jpg] к элементам [img: http://localhost:8080/file/010201-76.jpg] получается любой элемент [img: http://localhost:8080/file/010201-77.jpg] Это понятие связано с понятием зависимости: элементы Xпосредством операций из [img: http://localhost:8080/file/010201-78.jpg] ставятся в зависимость от элементов В. Минимальность означает, что никакое собственное подмножество [img: http://localhost:8080/file/010201-79.jpg] не порождает X. Это свойство обусловливает в нек-ром смысле независимость его элементов: никакой элемент [img: http://localhost:8080/file/010201-80.jpg] не порождается остальными его элементами. Напр., множество всех натуральных чисел [img: http://localhost:8080/file/010201-81.jpg] имеет Б. единствевг-ный элемент 0 и порождается из него операцией непосредственного следования и ее итерациями; множество всех натуральных чисел [img: http://localhost:8080/file/010201-82.jpg] порождается операцией умножения из Б., состоящего из всех простых чисел. Базис алгебры кватернионов состоит из четырех элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-83.jpg] если порождающими операциями являются сложение и умножение на действительные числа; если же кроме этих операций используется еще и умножение кватернионов, то Б. будет состоять лишь из трех элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-84.jpg] (ибо [img: http://localhost:8080/file/010201-85.jpg]). Базис натурального ряда порядка [img: http://localhost:8080/file/010201-86.jpg] - подпоследовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-87.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010201-88.jpg] натуральных чисел с включением 0, к-рая в результате Декретного сложения с собой (операция порождения) дает все [img: http://localhost:8080/file/010201-89.jpg] Это означает, что каждое натуральное число ппредставимо в виде [img: http://localhost:8080/file/010201-90.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010201-91.jpg] Напр., всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов натуральных чисел (теорема Лагранжа), т. е. последовательность квадратов есть Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-92.jpg] порядка 4. Вообще, последовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-93.jpg] степеней натуральных чисел является Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-94.jpg] (теорема Гильберта), порядок к-рого оценивается Виноградова методом. Понятие Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-95.jpg] обобщается на случай произвольных числовых последовательностей, т. е. функций на [img: http://localhost:8080/file/010201-96.jpg]. Порождающие [img: http://localhost:8080/file/010201-97.jpg] множества существуют всегда (тривиально: [img: http://localhost:8080/file/010201-98.jpg] порождает [img: http://localhost:8080/file/010201-99.jpg]), однако минимальность может оказаться принципиально невозможной (подобная ситуация типична для классов [img: http://localhost:8080/file/010201-100.jpg], содержащих бес-конечноместные операции, в частности в топологич. структурах, решетках и т. п.). Поэтому условие минимальности заменяется более слабым требованием: Б. есть порождающее множество минимальной мощности. В связи с этим обычно [img: http://localhost:8080/file/010201-101.jpg]. Вопределяется как параметризованное множество (или семейство), т. е. как функция [img: http://localhost:8080/file/010201-102.jpg] на множестве индексов [img: http://localhost:8080/file/010201-103.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/010201-104.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010201-105.jpg]; мощность Тиногда наз. базисной размерностью (или рангом) [img: http://localhost:8080/file/010201-106.jpg] Напр., счетное всюду плотное множество [img: http://localhost:8080/file/010201-107.jpg] сепарабель-ного топологич. пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-108.jpg] можно считать его [img: http://localhost:8080/file/010201-109.jpg].; [img: http://localhost:8080/file/010201-110.jpg] порождается из [img: http://localhost:8080/file/010201-111.jpg] операцией замыкания (к-рая, кстати, и в более общих случаях родственна порождению, см. ниже). Базис топологии топологич. пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-112.jpg] (база) - Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-113.jpg] совокупности всех открытых подмножеств X;порождение осуществляется объединением элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-114.jpg] Базис булевой алгебры [img: http://localhost:8080/file/010201-115.jpg] (двойственный базе [img: http://localhost:8080/file/010201-116.jpg] в смысле Тарского) - плотное множество (минимальной мощности) [img: http://localhost:8080/file/010201-117.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-118.jpg]; порождение [img: http://localhost:8080/file/010201-119.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010201-120.jpg] (а тем самым и само [img: http://localhost:8080/file/010201-121.jpg]) определяется условием [img: http://localhost:8080/file/010201-122.jpg] (что равносильно [img: http://localhost:8080/file/010201-123.jpg]), где [img: http://localhost:8080/file/010201-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010201-125.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010201-126.jpg] - единица [img: http://localhost:8080/file/010201-127.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010201-128.jpg] - операция импликации. Аналогично вводится ибазис фильтра [img: http://localhost:8080/file/010201-129.jpg], как множество [img: http://localhost:8080/file/010201-130.jpg] такое, что для любого [img: http://localhost:8080/file/010201-131.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010201-132.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010201-133.jpg]. Большинство частных случаев Б. множества [img: http://localhost:8080/file/010201-134.jpg] вводится по следующей схеме. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010201-135.jpg] - булеан [img: http://localhost:8080/file/010201-136.jpg], т. е. совокупность всех его подмножеств. Порождающим оператором (или оператором замыкания) [img: http://localhost:8080/file/010201-137.jpg] называется отображение [img: http://localhost:8080/file/010201-138.jpg] в себя такое, что: если [img: http://localhost:8080/file/010201-139.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-140.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/010201-141.jpg] порождается множеством [img: http://localhost:8080/file/010201-142.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010201-143.jpg] в частности, [img: http://localhost:8080/file/010201-144.jpg] порождает [img: http://localhost:8080/file/010201-145.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010201-146.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-147.jpg]. Минимальное множество [img: http://localhost:8080/file/010201-148.jpg], обладающее этим свойством, и наз. базисом [img: http://localhost:8080/file/010201-149.jpg].определенным оператором [img: http://localhost:8080/file/010201-150.jpg]. Порождающий оператор J имеет конечный тип, если для любых [img: http://localhost:8080/file/010201-151.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010201-152.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010201-153.jpg] для нек-рого конечного подмножества [img: http://localhost:8080/file/010201-154.jpg] порождающий оператор [img: http://localhost:8080/file/010201-155.jpg] обладает свойством замещения, если для любых [img: http://localhost:8080/file/010201-156.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010201-157.jpg] Порождающий оператор [img: http://localhost:8080/file/010201-158.jpg] конечного типа со свойством замещения определяет на X отношение зависимости, т. е. разбиение [img: http://localhost:8080/file/010201-159.jpg] на два класса - зависимых и независимых множеств; множество Аназ. зависимым, если [img: http://localhost:8080/file/010201-160.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010201-161.jpg], и независимым, если [img: http://localhost:8080/file/010201-162.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010201-163.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/010201-164.jpg] зависимо (независимо) тогда и только тогда, когда некоторое (любое) непустое конечное подмножество [img: http://localhost:8080/file/010201-165.jpg] зависимо (независимо). Для того чтобы множество [img: http://localhost:8080/file/010201-166.jpg] было Б. множества [img: http://localhost:8080/file/010201-167.jpg], необходимо н достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010201-168.jpg] было независимым порождающим [img: http://localhost:8080/file/010201-169.jpg] множеством или, иначе, максимальным независимым в [img: http://localhost:8080/file/010201-170.jpg] множеством. Если [img: http://localhost:8080/file/010201-171.jpg] - произвольное независимое множество, а С - порождающее [img: http://localhost:8080/file/010201-172.jpg] множество, содержащее А, то существует Б. Вв X такой, что [img: http://localhost:8080/file/010201-173.jpg] В частности, Xвсегда обладает Б., и любые два его Б. равно-мощны. В алгебраич. системах X важную роль играет понятие так наз. свободного базиса В, характеризующегося следующим свойством: произвольное отображение [img: http://localhost:8080/file/010201-174.jpg] в любую алгебраич. систему [img: http://localhost:8080/file/010201-175.jpg] (той же сигнатуры) может быть продолжено до (гомо) морфизма [img: http://localhost:8080/file/010201-176.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-177.jpg], пли, что то же самое, для любого (гомо)морфизма [img: http://localhost:8080/file/010201-178.jpg] и любого множества [img: http://localhost:8080/file/010201-179.jpg] порождающие операторы [img: http://localhost:8080/file/010201-180.jpg] удовлетворяют условию: [img: http://localhost:8080/file/010201-181.jpg] Алгебрапч. система, имеющая свободный В., наз. свободной. Типичным примером является базис (унитарного) модуля Mнад кольцом К - свободное семейство элементов из М, порождающее М(см. [3]). Здесь семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-182.jpg] элементов K-модуля Мназ. свободным, если из [img: http://localhost:8080/file/010201-183.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010201-184.jpg] для всех, кроме конечного числа индексов [img: http://localhost:8080/file/010201-185.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010201-186.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010201-187.jpg], а порождение осуществляется представлением элементов хв виде линейных комбинаций элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-188.jpg]: существует (зависящее от х).множество элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-189.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010201-190.jpg] для всех, кроме конечного числа индексов t, и имеет место разложение [img: http://localhost:8080/file/010201-191.jpg] (т. е. X- линейная оболочка A). Б. Мв этом смысле является его свободным Б. в вышеуказанном смысле; обратное также верно. Так, множество периодов двоякопериодич. функции [img: http://localhost:8080/file/010201-192.jpg] одного комплексного переменного, являющееся дискретной абелевой группой (и потому модулем над кольцом [img: http://localhost:8080/file/010201-193.jpg]). имеет свободный Б., наз. базисом периодов функции [img: http://localhost:8080/file/010201-194.jpg]; он состоит из двух так наз. примитивных периодов. Аналогично определяется Б. периодов абелевой функции нескольких комплексных переменных. В случае, когда К - тело, всякий Б. (в прежнемсмысле) является свободным. Напротив, существуют модули, не имеющие свободного Б.; таковы, напр., неглавные идеалы в области целостности К, рассматриваемой как K-модуль. Базис векторного пространства X над полем К- (свободный) В. подлежащего Xунитарного модуля. Аналогично, базис алгебры Анад полем К - Б. подлежащего A векторного пространства. Все Б. данного векторного пространства Xимеют одинаковую мощность, равную мощности Т, к-рая наз. его алгебраической размерностью. Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010201-195.jpg] представим линейной комбинацией элементов Б. единственным образом. Элементы [img: http://localhost:8080/file/010201-196.jpg], являющиеся линейными функционалами на X, наз. компонентами (координатами) [img: http://localhost:8080/file/010201-197.jpg] в данном Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-198.jpg]. Множество Аявляется Б. в Xтогда и только тогда, когда А - максимальное (относительно включения) свободное множество в X. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010201-199.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010201-200.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010201-201.jpg] - значение t-й компоненты хв Б. A и 0 в противном случае, наз. базисным отображением; оно является линейным инъективным отображением Xв пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-202.jpg] функций на Тсо значениями в K. В данном случае образ [img: http://localhost:8080/file/010201-203.jpg] состоит из функций с конечным числом значений, отличных от нуля (конечнозначных функций). Эта интерпретация позволяет определить обобщенный базис векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-204.jpg] над полем [img: http://localhost:8080/file/010201-205.jpg] как биективное линейное отображение его на нек-рое подпространство [img: http://localhost:8080/file/010201-206.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-207.jpg] функций на [img: http://localhost:8080/file/010201-208.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/010201-209.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010201-210.jpg] - нек-рое надлежащим образом подобранное множество. Однако без введения дополнительных ограничений на [img: http://localhost:8080/file/010201-211.jpg] (напр., порядка) и структур на [img: http://localhost:8080/file/010201-212.jpg] (напр., топологии) и согласованных с этим условий на [img: http://localhost:8080/file/010201-213.jpg] понятие обобщенного Б. практически мало полезно. Иногда Б. векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-214.jpg] наз. алгебраическим базисом (чем подчеркивается отсутствие связи с дополнительными структурами на [img: http://localhost:8080/file/010201-215.jpg], даже если они и согласованы с его векторной структурой). Базис Гамеля (Хамеля) - Б. поля действительных чисел R, рассматриваемого как векторное пространство над полем рациональных чисел. Введен Г. Гамелем [4] для получения разрывного решения функционального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010201-216.jpg]; график решения его всюду плотен на плоскости [img: http://localhost:8080/file/010201-217.jpg]. Каждой почти периодич. функции [img: http://localhost:8080/file/010201-218.jpg] соответствует нек-рый счетный базис Гамеля [img: http://localhost:8080/file/010201-219.jpg] такой, что каждый показатель Фурье [img: http://localhost:8080/file/010201-220.jpg] этой функции принадлежит линейной оболочке [img: http://localhost:8080/file/010201-221.jpg]. При этом элементы [img: http://localhost:8080/file/010201-222.jpg] можно выбрать принадлежащими последовательности [img: http://localhost:8080/file/010201-223.jpg]; множество [img: http://localhost:8080/file/010201-224.jpg] наз. базисом почтп периодической функции. Аналогичный Б. строится в кольце, содержащем тело Ри имеющем единицу тела Рсвоей единицей. Алгебраич. Б. произвольного векторного пространства также наз. иногда базисом Гамеля. Базис топологический (Б. топологического векторного пространства Xнад полем К) - семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-225.jpg], свойства и функции к-рого аналогичны свойствам н функциям алгебраич. Б. векторного пространства. Понятие топологич. В.- одно из важнейших в функциональном анализе - расширяет и углубляет понятие алгебраич. Б. с учетом топологич. структуры X и позволяет получать для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/010201-226.jpg] его разложение по Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-227.jpg] и притом единственное, т. е. представление хв виде предела (в том или ином смысле) линейных комбинаций элементов [img: http://localhost:8080/file/010201-228.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010201-229.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010201-230.jpg] - линейные функционалы на Xсо значениями в К, наз. компонентами х в Б. А, или коэффициентами разложениям по Б. А. Очевидно, для существования разложения любого хнеобходимо, чтобы Абыло полным множеством в X, а для единственности такого разложения (т. е. для того, чтобы нулевой элемент Xимел все компоненты равными нулю) необходимо, чтобы Абыло топологическим свободным множеством в X. Смысл и практич. значение топологич. Б. (наз. далее просто Б.) заключается в установлении биективного линейного отображения X, наз. базисным отображением [img: http://localhost:8080/file/010201-231.jpg], на нек-рое, зависящее от X, пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-232.jpg] функций со значениями в К, определенных на (топологическом) пространстве Т, а именно: [img: http://localhost:8080/file/010201-233.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010201-234.jpg], так что символически [img: http://localhost:8080/file/010201-235.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-236.jpg]; при этом строение [img: http://localhost:8080/file/010201-237.jpg] вследствие конкретности, эффективности своего определения проще и обозримее, чем строение абстрактно заданного [img: http://localhost:8080/file/010201-238.jpg]. Так, напр., алгебраич. Б. бесконечномерного банахова пространства несчетен, в то время как в ряде случаев при надлежащем обобщении понятия Б. мощность [img: http://localhost:8080/file/010201-239.jpg] существенно уменьшается, одновременно упрощается и [img: http://localhost:8080/file/010201-240.jpg]. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-241.jpg] содержит все конечнозначные функции, и множество элементов Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-242.jpg] является биективным прообразом множества функций [img: http://localhost:8080/file/010201-243.jpg], имеющих лишь одно ненулевое значение, равное 1 ("однозначных" функций): [img: http://localhost:8080/file/010201-244.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010201-245.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010201-246.jpg]. Другими словами, [img: http://localhost:8080/file/010201-247.jpg] - образующая одномерного подпространства [img: http://localhost:8080/file/010201-248.jpg], дополнительного в Xк гиперплоскости, определяемой уравнением [img: http://localhost:8080/file/010201-249.jpg] Таким образом, роль Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-250.jpg] сводится к организации из множества компонент [img: http://localhost:8080/file/010201-251.jpg], составляющих образ хпри базисном отображении, суммируемого (в том или ином смысле) семейства [img: http://localhost:8080/file/010201-252.jpg], т. е. Б. "разлагает" пространство Xв (обобщенную) прямую сумму одномерных подпространств: [img: http://localhost:8080/file/010201-253.jpg] Аналогичным образом определяется Б. в векторных пространствах, наделенных равномерной, предельной (псевдотопологической), линейной [img: http://localhost:8080/file/010201-254.jpg], близостной и другими дополнительными структурами. Мыслимы (и существуют) обобщения понятия Б., идущие в различных направлениях. Так, введение топологии и меры на Тприводит к понятию так наз. непрерывной суммы элементов из Xи соответствующим интегральным представлениям; разложение пространства Xна необязательно одномерные компоненты находит применение в спектральной теории линейных операторов; рассмотрение вместо К(Т).произвольных топологич. алгебр над полем К(напр., алгебры мер на Тсо значениями в Кили даже в X, алгебры проекторов и т. д.) позволяет конкретизировать многие понятия абстрактной двойственности для топологич. векторных пространств и, в частности, использовать развитый аппарат теории характеров. Базис счетный- наиболее исследованный (и в то же время практически наиболее важный) пример Б.- последовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-255.jpg] элементов пространства Xтакая, что каждому элементу ходнозначно соответствует разложение его в ряд по Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-256.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-257.jpg] сходящийся (в топологии X).к х. Здесь [img: http://localhost:8080/file/010201-258.jpg] причем существен естественный порядок в нем. Часто счетный Б. наз. просто Б. [Аналогично, если подразумевается слабая сходимость разложения х, определяется слабый счетный базис.] Так, напр., функции [img: http://localhost:8080/file/010201-259.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010201-260.jpg] образуют Б. в пространствах [img: http://localhost:8080/file/010201-261.jpg] (абсолютно суммируемых в степени рпериодич. функций), напротив, в пространствах [img: http://localhost:8080/file/010201-262.jpg] (измеримых функций, совпадающих почти всюду с ограниченными функциями) и [img: http://localhost:8080/file/010201-263.jpg] (непрерывных периодич. функций) эти функции Б. не образуют. Необходимым (но далеко не достаточным) условием существования счетного Б. является сепарабельность [img: http://localhost:8080/file/010201-264.jpg] (напр., в пространстве измеримых на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010201-265.jpg] функций со значениями в [img: http://localhost:8080/file/010201-266.jpg] счетного Б. быть не может). Впрочем, пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-267.jpg] ограниченных последовательностей, не будучи сепарабельным в топологии [img: http://localhost:8080/file/010201-268.jpg], не обладает счетным Б., однако элементы [img: http://localhost:8080/file/010201-269.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-270.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010201-271.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010201-272.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-273.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010201-274.jpg], образуют Б. в слабой топологии [img: http://localhost:8080/file/010201-275.jpg]. Вопрос о существовании счетного Б. в сепарабельных банаховых пространствах (проблема базиса) решен отрицательно [6]. Аналогичный вопрос для ядерных пространств также решен отрицательно [7]. Счетный Б., однако, не всегда оказывается "достаточно хорошим" для применений (напр., компоненты [img: http://localhost:8080/file/010201-276.jpg] не являются непрерывными, разложение [img: http://localhost:8080/file/010201-277.jpg] не сходится безусловно и т. п.), в связи с чем на Б. накладываются некоторые условия или вводится надлежащее его обобщение. Базис счетного типа - одно из обобщений понятия счетного В., для к-рого хотя [img: http://localhost:8080/file/010201-278.jpg] и несчетно, но разложение элемента [img: http://localhost:8080/file/010201-279.jpg] по нему естественно определяется: соответствующее пространство [img: http://localhost:8080/file/010201-280.jpg] состоит из счетнозначных функций. Напр., полное орто-нормированное множество [img: http://localhost:8080/file/010201-281.jpg] в гильбертовом пространстве Нявляется Б.; если [img: http://localhost:8080/file/010201-282.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010201-283.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010201-284.jpg] - скалярное произведение в Н).для всех, за исключением быть может счетного множества, индексов [img: http://localhost:8080/file/010201-285.jpg], и ряд [img: http://localhost:8080/file/010201-286.jpg] сходится к х. Базисное отображение определяется ортогональным проектированием на замкнутые подпространства, порожденные элементами [img: http://localhost:8080/file/010201-287.jpg] Б. пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-288.jpg] всех комплекснозначных почти периодич. функций на [img: http://localhost:8080/file/010201-289.jpg] состоит из функций [img: http://localhost:8080/file/010201-290.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/010201-291.jpg] - совокупность счетнозначных функций, а базисное отображение определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010201-292.jpg] Базис безусловный- счетный Б. в пространстве Xтакой, что разложение любого элемента хсходится безусловно (т. (последовательностей, сходящихся к нулю) и [img: http://localhost:8080/file/010201-294.jpg] (последовательностей, суммирую мых в степени [img: http://localhost:8080/file/010201-295.jpg]) элементы [img: http://localhost:8080/file/010201-296.jpg] образуют безусловный Б.; в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010201-297.jpg] непрерывных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010201-298.jpg] функций (любой) Б. не может быть безусловным. Ортонормированный счетный Б. гильбертова пространства - безусловный Б. Банахово пространство с безусловным Б. слабо полно (соответственно обладает сепарабельным сопряженным пространством) в том и только в том случае, когда оно не содержит подпространства, изоморфного с 0 (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010201-299.jpg]). Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-300.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-301.jpg] соответствующих банаховых пространств Xи Yназ. эквивалентными, если существует биективное линейное отображение Т: [img: http://localhost:8080/file/010201-302.jpg], распространяемое до изоморфизма Xв Y;эти Б. наз. квазиэквивалентными, если они становятся эквивалентными после нек-рой перестановки и нормировки элементов одного из них. Пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-303.jpg] обладают тем свойством, что в каждом из них все нормированные безусловные Б. эквивалентны. В декартовом произведении [img: http://localhost:8080/file/010201-304.jpg] квазиэквивалентны все безусловные Б. Существуют, однако, нормированные Б., не эквивалентные ортонормированному. Базис суммирующий - обобщение понятия безусловного Б., соответствующее множеству Тпроизвольной мощности и совпадающее с ним при [img: http://localhost:8080/file/010201-305.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-306.jpg], - семейство [img: http://localhost:8080/file/010201-307.jpg] такое, что для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/010201-308.jpg] существует семейство линейных комбинаций (частичных сумм) элементов из А, называемое обобщенным разложением х, суммируемое к х:для любой окрестности нуля [img: http://localhost:8080/file/010201-309.jpg] найдется конечное подмножество [img: http://localhost:8080/file/010201-310.jpg] такое, что для каждого конечного множества [img: http://localhost:8080/file/010201-311.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/010201-312.jpg] т. е. когда частичные суммы образуют систему (фильтр) Коши. Так, напр., любой ортонормированный Б. гильбертова пространства является суммирующим Б. Аналогично определяется слабый суммирующий базис. Вполне суммирующий базис- такой суммирующий Б., что существует ограниченное множестве Втакое, что множество полунорм [img: http://localhost:8080/file/010201-313.jpg] суммируемо. Вполне суммирующий Б. не более чем сче-тен. В дуально ядерном пространстве каждый слабо суммирующий Б. вполне суммирующий. Базис абсолютный (абсолютно суммирующий базис) - суммирующий Б. локально выпуклого пространства над нормированным полем такой, что для каждой окрестности нуля [img: http://localhost:8080/file/010201-314.jpg] и для каждого [img: http://localhost:8080/file/010201-315.jpg] суммируемо семейство полунорм [img: http://localhost:8080/file/010201-316.jpg] Всякий безусловный счетный Б. абсолютен, т. е. ряд [img: http://localhost:8080/file/010201-317.jpg] сходится для всех [img: http://localhost:8080/file/010201-318.jpg] и всех непрерывных полунорм [img: http://localhost:8080/file/010201-319.jpg]. Среди банаховых пространств абсолютным счетным Б. обладают только пространства l1. Если пространство Фреше имеет абсолютный Б., то все его безусловные Б. абсолютны. В ядерных пространствах Фреше каждый счетный Б. (если он существует) абсолютный [13]. Базис Шаудера - Б. [img: http://localhost:8080/file/010201-320.jpg] пространства Xтакой, что определенное им Оазисное отображение непрерывно [и, следовательно, является изоморфизмом на нек-рое пространство К(Т)], т. е. Б., в к-ром компоненты [img: http://localhost:8080/file/010201-321.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010201-322.jpg] и, в частности, коэффициенты разложения [img: http://localhost:8080/file/010201-323.jpg] по этому Б., являются непрерывными функционалами на [img: http://localhost:8080/file/010201-324.jpg]. Определен впервые Ю. Шаудером [5] для случая [img: http://localhost:8080/file/010201-325.jpg]. Понятие базиса Шаудера является важнейшим среди всех модификаций понятия Б. Базис Шаудера Характеризуется тем, что [img: http://localhost:8080/file/010201-326.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-327.jpg] образуют биортогональную систему. Напр., в пространствах [img: http://localhost:8080/file/010201-328.jpg] последовательности [img: http://localhost:8080/file/010201-329.jpg] образуют счетный базис Шаудера. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/010201-330.jpg] счетный базис Шаудера образует Хаара система. В полных метрич. векторных (в частности, банаховых) пространствах всякий счетный Б. является базисом Шаудера [10]. В пространствах Фреше понятия слабого Б. и базиса Шаудера совпадают [11]. В бочечных пространствах, в к-рых нет вообще линейных непрерывных функционалов [8], не существует и базиса Шаудера. Однако, если в них существует слабый базис Шаудера, то он является (обычным) базисом Шаудера [9]. Рефлексивность бочечного локально выпуклого пространства со счетным базисом Шаудера имеет место тогда и только тогда, когда этот Б. является одновременно натягивающим, т. е. если для него [img: http://localhost:8080/file/010201-331.jpg] будет Б. в сопряженном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010201-332.jpg], и ограниченно полным, т. е. если ограниченность множества частных сумм ряда [img: http://localhost:8080/file/010201-333.jpg] влечет сходимость этого ряда [12]. Если базис Шаудера является безусловным Б. в банаховом пространстве, то он тогда и только тогда является натягивающим (соответственно ограниченно полным), когда в Xнет подпространств, изоморфных [img: http://localhost:8080/file/010201-334.jpg] (соответственно с 0). Базис Шаудера в локально выпуклом пространстве равностепенно непрерывен, если для каждой окрестности нуля Uнайдется окрестность нуля Vтакая, что [img: http://localhost:8080/file/010201-335.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010201-336.jpg]. Каждый базис Шаудера бочечного пространства равностепенно непрерывен, и каждое полное локально выпуклое пространство со счетным равностепенно непрерывным Б. отождествимо с некоторым пространством последовательностей [15]. Равностепенно непрерывный Б. ядерного пространства абсолютен.