Банаха - штейнхауза теорема

общее название ряда результатов о топологич. свойствах пространства непрерывных линейных отображений одного линейного топологич. пространства в другое. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010201-393.jpg], F - локально выпуклые линейные топологич. пространства, где [img: http://localhost:8080/file/010201-394.jpg] - бочечное пространство, или [img: http://localhost:8080/file/010201-395.jpg] - линейные топологич. пространства, причем [img: http://localhost:8080/file/010201-396.jpg] - Бэра пространство;тогда: 1) любое ограниченное в топологии простой сходимости подмножество пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-397.jpg] непрерывных линейных отображений пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-398.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-399.jpg] равностепенно непрерывно (принцип равномерной ограниченности), 2) если фильтр [img: http://localhost:8080/file/010201-400.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010201-401.jpg] содержит множество, ограниченное в топологии простой сходимости, и сходится в топологии простой сходимости к нек-рому отображению vпространства [img: http://localhost:8080/file/010201-402.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-403.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010201-404.jpg] - непрерывное линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/010201-405.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-406.jpg], и фильтр [img: http://localhost:8080/file/010201-407.jpg] сходится к [img: http://localhost:8080/file/010201-408.jpg] равномерно на каждом компактном подмножестве пространства Е(см. [2, 3]). Этот общий результат позволяет уточнить классич. результаты С. Банаха и X. Штейнхауза (см. [1]): пусть [img: http://localhost:8080/file/010201-409.jpg] - банаховы пространства, [img: http://localhost:8080/file/010201-410.jpg] - подмножество второй категории в Е;тогда: 1) если [img: http://localhost:8080/file/010201-411.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-412.jpg] конечен для всех [img: http://localhost:8080/file/010201-413.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010201-414.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-415.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010201-416.jpg] - последовательность непрерывных линейных отображений [img: http://localhost:8080/file/010201-417.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-418.jpg] и последовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-419.jpg] сходится в [img: http://localhost:8080/file/010201-420.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010201-421.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010201-422.jpg] сходится к непрерывному линейному отображению [img: http://localhost:8080/file/010201-423.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-424.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010201-425.jpg] равномерно на любом компактном подмножестве пространства [img: http://localhost:8080/file/010201-426.jpg].