Банахова алгебра

- топологическая алгебра А над полем комплексных чисел, топология к-рой определяется нормой, превращающей Ав банахово пространство, причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. наз. коммутативной, если [img: http://localhost:8080/file/010202-8.jpg] Для всех [img: http://localhost:8080/file/010202-9.jpg] (см. Коммутативная банахова алгебра). Б. а. Аназ. алгеброй с единицей, если Асодержит такой элемент е, что [img: http://localhost:8080/file/010202-10.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-11.jpg]. Если в Б. а. A нет единицы, то ее можно присоединить, т. е. построить Б. а. A с единицей такую, что Асодержит исходную алгебру Ав качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой Б. а. А с единицей еможно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения [img: http://localhost:8080/file/010202-12.jpg] (Последующее изложение предполагает, как правило, наличие в алгебре единицы и выполнение приведенных соотношений для нормы.) Примеры. 1) Пусть X - компактное топологич. пространство, [img: http://localhost:8080/file/010202-13.jpg] - совокупность всех непрерывных комплексных функций на X. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010202-14.jpg] является Б. а. относительно поточечных операций и нормы [img: http://localhost:8080/file/010202-15.jpg] 2) Множество всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве образует Б. а. относительно обычных операций сложения и умножения линейных операторов и нормы оператора. 3) Пусть V - ограниченная область в n-мерном комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010202-16.jpg]. Совокупность ограниченных голоморфных функций на Vявляется Б. а. относительно поточечных операций и естественной sup-нормы: [img: http://localhost:8080/file/010202-17.jpg] Эта Б. а. содержит замкнутую подалгебру, образованную ограниченными голоморфными функциями на [img: http://localhost:8080/file/010202-18.jpg], допускающими непрерывное продолжение на замыкание области [img: http://localhost:8080/file/010202-19.jpg]. Простейшим примером является алгебра непрерывных в круге [img: http://localhost:8080/file/010202-20.jpg] функций, аналитических в круге [img: http://localhost:8080/file/010202-21.jpg] 4) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010202-22.jpg] - локально компактная группа и [img: http://localhost:8080/file/010202-23.jpg] - пространство (классов эквивалентности) всех измеримых относительно меры Хаара на [img: http://localhost:8080/file/010202-24.jpg] абсолютно интегрируемых по этой мере функций, снабженное нормой [img: http://localhost:8080/file/010202-25.jpg] (интеграл по левой мере Хаара). Если в качестве умножения в [img: http://localhost:8080/file/010202-26.jpg] рассмотреть операцию свертки [img: http://localhost:8080/file/010202-27.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010202-28.jpg] становится Б. а.; если G - абелева локально компактная группа, то Б. а. [img: http://localhost:8080/file/010202-29.jpg] коммутативна. Б. а. [img: http://localhost:8080/file/010202-30.jpg] наз. групповой алгеброй локально компактной группы G. Групповая алгебра [img: http://localhost:8080/file/010202-31.jpg] обладает единицей (относительно свертки) тогда и только тогда, когда Gдискретна. Если Gкоммутативна, то можно построить точное представление Б. а. [img: http://localhost:8080/file/010202-32.jpg], сопоставляя каждой функции [img: http://localhost:8080/file/010202-33.jpg] преобразование Фурье этой функции, т. е. функцию [img: http://localhost:8080/file/010202-34.jpg] на группе характеров [img: http://localhost:8080/file/010202-35.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010202-36.jpg]. Совокупность функций [img: http://localhost:8080/file/010202-37.jpg], образует нек-рую алгебру [img: http://localhost:8080/file/010202-38.jpg] непрерывных функций на [img: http://localhost:8080/file/010202-39.jpg] (относительно обычных поточечных операций), наз. алгеброй Фурье локально компактной абелевой группы [img: http://localhost:8080/file/010202-40.jpg]. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/010202-41.jpg] есть группа целых чисел [img: http://localhost:8080/file/010202-42.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010202-43.jpg] есть алгебра непрерывных функции на окружности, разлагающихся в абсолютно сходящийся тригонометрич. ряд. 5) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010202-44.jpg] - топологич. группа. Непрерывная комплексная функция [img: http://localhost:8080/file/010202-45.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010202-46.jpg] наз. почти периодической, если совокупность ее сдвигов [img: http://localhost:8080/file/010202-47.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010202-48.jpg], образует компактное семейство относительно равномерной сходимости на G. Совокупность почтв периодич. функций образует коммутативную Б. а., относительно поточечных операций и нормы [img: http://localhost:8080/file/010202-49.jpg] 6) Тело кватернионов не образует Б. а. над полем комплексных чисел, так как произведение элементов Б. а. А должно быть согласовано с умножением на числа: для любых и [img: http://localhost:8080/file/010202-50.jpg] должно выполняться равенство [img: http://localhost:8080/file/010202-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010202-52.jpg] к-рое не выполняется в теле кватернионов при [img: http://localhost:8080/file/010202-54.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010202-53.jpg] Всякая Б. а. с единицей есть топологич. алгебра с непрерывным обратным. Более того, если [img: http://localhost:8080/file/010202-55.jpg] - множество элементов Б. а. А, обладающих (двусторонним) обратным относительно умножения, то [img: http://localhost:8080/file/010202-56.jpg] - топологич. группа в топологии, индуцированной вложением [img: http://localhost:8080/file/010202-57.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010202-58.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010202-59.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010202-60.jpg] и ряд сходится абсолютно. Совокупность элементов, обратимых справа (слева) в А, также образует открытое множество в А. Если в Б. а. Авсякий элемент обладает обратным (или хотя бы левым обратным), то алгебра Аизометрически изоморфна полю комплексных чисел (теорема Гельфанда - Мазура). Поскольку нек-рая окрестность единицы в Б. а. Асостоит из обратимых элементов, то замыкание любого нетривиального идеала есть снова идеал, не совпадающий с А. В частности, максимальный (левый, правый,, двусторонний) идеал замкнут. Одну из важных задач теории Б. а. составляет задача описания замкнутых идеалов в Б. а. В ряде случаев она решается просто. В алгебре С(X).(см. пример 1) всякий замкнутый идеал имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010202-61.jpg] где Y - замкнутое множество в X. Если А - алгебра всех, ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве, то единственным замкнутым двусторонним идеалом в А служат идеал вполне непрерывных операторов. Элемент [img: http://localhost:8080/file/010202-62.jpg] имеет левый (правый) обратный тогда и только тогда, когда он не содержится ни в каком максимальном левом (правом) идеале. Пересечение всех левых максимальных идеалов в Асовпадает с пересечением всех правых максимальных идеалов; это пересечение наз. радикалом алгебры Аи обозначается [img: http://localhost:8080/file/010202-63.jpg]. Элемент [img: http://localhost:8080/file/010202-64.jpg] принадлежит [img: http://localhost:8080/file/010202-65.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010202-66.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-67.jpg] Алгебры, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010202-68.jpg], наз. полупростыми. Алгебры [img: http://localhost:8080/file/010202-69.jpg] и групповые алгебры [img: http://localhost:8080/file/010202-70.jpg] полупросты. Полупростыми являются все неприводимые (т. е. не имеющие нетривиального инвариантного подпространства) замкнутые подалгебры алгебры всех ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве. Резольвентой элемента [img: http://localhost:8080/file/010202-71.jpg] наз. функция [img: http://localhost:8080/file/010202-72.jpg] определенная на множестве тех [img: http://localhost:8080/file/010202-73.jpg], для к-рых (двусторонний) обратный к [img: http://localhost:8080/file/010202-74.jpg] существует. Область существования резольвенты содержит все точки [img: http://localhost:8080/file/010202-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010202-76.jpg]. Максимальная область существования резольвенты есть открытое множество; на этом множестве резольвента непрерывна п даже аналитична, причем [img: http://localhost:8080/file/010202-77.jpg] Кроме того, имеет место тождество Гильберта [img: http://localhost:8080/file/010202-78.jpg] Дополнение к области существования резольвенты наз. спектром элемента аиобозначается [img: http://localhost:8080/file/010202-79.jpg]. Для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-80.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/010202-81.jpg] непусто, замкнуто и ограничено. Если [img: http://localhost:8080/file/010202-82.jpg] то множества [img: http://localhost:8080/file/010202-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010202-84.jpg] могут не совпадать, но [img: http://localhost:8080/file/010202-85.jpg] Число [img: http://localhost:8080/file/010202-86.jpg] наз. спектральным радиусом элемента [img: http://localhost:8080/file/010202-87.jpg]; имеет место формула Гельфанда [img: http://localhost:8080/file/010202-88.jpg] где предел справа всегда существует. Если [img: http://localhost:8080/file/010202-89.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010202-90.jpg] обратное верно, вообще говоря, лишь в коммутативных Б. а., радикал к-рых совпадает с множеством обобщенных нильпотентов, т. е. элементов [img: http://localhost:8080/file/010202-91.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010202-92.jpg] В любой Б. а. справедливы соотношения [img: http://localhost:8080/file/010202-93.jpg] если Акоммутативна, то [img: http://localhost:8080/file/010202-94.jpg] Известны примеры некоммутативных алгебр, в к-рых отсутствуют ненулевые обобщенные нильпотенты. Однако, если [img: http://localhost:8080/file/010202-95.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-96.jpg], те Б. а. Акоммутативна. Условие [img: http://localhost:8080/file/010202-97.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010202-98.jpg] также достаточно для коммутативности (алгебры с единицей) А. Алгебра Аназ. алгеброй с инволюцией, если на Аопределена операция [img: http://localhost:8080/file/010202-99.jpg], удовлетворяющая условиям: [img: http://localhost:8080/file/010202-100.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010202-101.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/010202-102.jpg] наз. инволюцией в А. Линейный функционал [img: http://localhost:8080/file/010202-103.jpg] на алгебре Ас инволюцией наз. положительным, если [img: http://localhost:8080/file/010202-104.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-105.jpg]. При положительном линейном функционале [img: http://localhost:8080/file/010202-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010202-107.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010202-108.jpg]. Если инволюция в Аизометрична, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010202-109.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010202-110.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010202-111.jpg]. Б. а. с инволюцией Аназ. вполне симметричной, если [img: http://localhost:8080/file/010202-112.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-113.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010202-114.jpg] -алгеброй (вполне регулярной алгеброй), если [img: http://localhost:8080/file/010202-115.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-116.jpg]. Всякая [img: http://localhost:8080/file/010202-117.jpg] алгебра внолне симметрична. Примерами вполне симметричных алгебр служат групповые алгебры [img: http://localhost:8080/file/010202-118.jpg] коммутативных, или компактных, групп. Примерами [img: http://localhost:8080/file/010202-119.jpg] -алгебр служат алгебры [img: http://localhost:8080/file/010202-120.jpg] (инволюция в [img: http://localhost:8080/file/010202-121.jpg] определяется как переход к комплексно сопряженной функции) и замкнутые подалгебры алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, содержащие вместе с данным оператором сопряженный оператор (инволюция определяется как переход к сопряженному оператору). Любая [img: http://localhost:8080/file/010202-122.jpg] -алгебра изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из таких алгебр (теорема Гельфанда- Наймарка). В частности, любая коммутативная [img: http://localhost:8080/file/010202-123.jpg] -алгебра Аизометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из алгебр [img: http://localhost:8080/file/010202-124.jpg] (это утверждение содержит теорему Стоуна - Вейерштрасса). Элемент [img: http://localhost:8080/file/010202-125.jpg] Б. а. с инволюцией наз. эрмитовым, если [img: http://localhost:8080/file/010202-126.jpg] Для того чтобы Б. а. с инволюцией была [img: http://localhost:8080/file/010202-127.jpg] -алгеброй, необходимо и достаточно выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/010202-128.jpg] для всех эрмитовых элементов а. Если в Б. а. с инволюцией sup [img: http://localhost:8080/file/010202-129.jpg] (верхняя грань по всем эрмитовым элементам), то такая алгебра топологически [img: http://localhost:8080/file/010202-130.jpg] -изоморфна [img: http://localhost:8080/file/010202-131.jpg] -алгебре. Если в произвольной Б. а. [img: http://localhost:8080/file/010202-132.jpg] при всех действительных [img: http://localhost:8080/file/010202-133.jpg] для нек-рого элемента [img: http://localhost:8080/file/010202-134.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010202-135.jpg] совпадает со спектральным радиусом, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010202-136.jpg]. Теория Б. а. (в особенности коммутативных Б. а.) имеет многочисленные приложения в различных областях функционального анализа и ряде других математич. дисциплин.