Банахова решетка

банахова структура,-векторная решетка (структура), являющаяся одновременно банаховым пространством с нормой, удовлетворяющей условию монотонности: [img: http://localhost:8080/file/010202-138.jpg] Б. р. наз. также [img: http://localhost:8080/file/010202-139.jpg] -линеалом, а произвольную нормированную, т. е. векторную решетку с монотонной нормой - [img: http://localhost:8080/file/010202-140.jpg] - линеалом. При пополнении нормированной решетки по норме порядковые отношения могут быть распространены на получающееся банахово пространство так, что оно оказывается Б. р. Если в решетке можно ввести банахову топологию, превращающую ее в Б. р., то такая топология единственна. Простейший пример Б. р.- пространство [img: http://localhost:8080/file/010202-141.jpg] непрерывных функций на произвольном компактном топологич. пространстве [img: http://localhost:8080/file/010202-142.jpg] с естественным упорядочением и с обычной (равномерной) нормой. Другие примеры Б. р.- пространства [img: http://localhost:8080/file/010202-143.jpg], пространства Орлича. В Б. р. сходимость по норме есть [img: http://localhost:8080/file/010202-144.jpg] - сходимость для сходимости с регулятором. В нормированной решетке это не так. Важный частный случай - Б. р. ограниченных элементов. Если в решетке Xимеется сильная единица [img: http://localhost:8080/file/010202-145.jpg], т. е. для каждого [img: http://localhost:8080/file/010202-146.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/010202-147.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010202-148.jpg], то наименьшее [img: http://localhost:8080/file/010202-149.jpg], для к-рого это неравенство справедливо, принимается за [img: http://localhost:8080/file/010202-150.jpg]. Полученная нормированная решетка наз. нормированной решеткой ограниченных элементов; если же она полна по норме, то она наз. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010202-151.jpg] есть Б. р. ограниченных элементов, в к-роп за единицу принята функция [img: http://localhost:8080/file/010202-152.jpg] Для всякой Б. р. X ограниченных элементов существует такое компактное хаусдорфово пространство Q, что Xалгебраически и структурно изоморфна пространству [img: http://localhost:8080/file/010202-153.jpg] Это - абстрактная характеристика Б. р. непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве. В любой нормированной решетке каждый аддитивный и непрерывный по норме функционал регулярен и, более того, представим в виде разности двух аддитивных и непрерывных по норме положительных функционалов. В Б. р. всякий положительный аддитивный функционал непрерывен по норме, и значит классы регулярных и аддитивных непрерывных по норме функционалов совпадают. Пространство X', сопряженное в банаховом смысле к нормированной решетке X, есть условно полная Б. р. В нормированной решетке теорема Хана - Банаха допускает следующее уточнение: для любого [img: http://localhost:8080/file/010202-154.jpg] существует такой положительный аддитивный непрерывный по норме функционал f, что f(x0)=||x0||, ||f||=1.