Барицентрические координаты

координаты точки n-мерного векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010203-70.jpg], отнесенные к нек-рой фиксированной системе [img: http://localhost:8080/file/010203-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-72.jpg] точек, не лежащих в [img: http://localhost:8080/file/010203-73.jpg] -мерном подпространстве. Каждая точка [img: http://localhost:8080/file/010203-74.jpg] может быть единственным образом представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010203-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010203-76.jpg] - действительные числа, удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/010203-77.jpg] Точка х, по определению, есть центр тяжести масс [img: http://localhost:8080/file/010203-78.jpg] помещенных в точках [img: http://localhost:8080/file/010203-79.jpg] Числа [img: http://localhost:8080/file/010203-80.jpg] наз. барицентрическими координатам и точки х;точка с Б. к. [img: http://localhost:8080/file/010203-81.jpg] наз. барицентром. Б. к. введены А. Мёбиусом в 1827 (см. [1]) как ответ на вопрос о том, какие массы следует поместить в вершинах заданного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Б. к. являются частным случаем общих однородных координат;они аффинно инвариантны. Б. к. точек симплекса используются в алгебраич. топологии (см. [2]). Барицентрическими координатами точек [img: http://localhost:8080/file/010203-82.jpg] -мерного симплекса [img: http://localhost:8080/file/010203-83.jpg] относительно его вершин [img: http://localhost:8080/file/010203-84.jpg] наз. их (общие) декартовы координаты в базисе векторов [img: http://localhost:8080/file/010203-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-86.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010203-87.jpg] - любая точка, не лежащая в n-мер-ном подпространстве, несущем [img: http://localhost:8080/file/010203-88.jpg] (считается, что [img: http://localhost:8080/file/010203-89.jpg] лежит в нек-ром евклидовом пространстве; при этом определение не зависит от точки [img: http://localhost:8080/file/010203-90.jpg]), или проективные координаты относительно [img: http://localhost:8080/file/010203-91.jpg] в проективном пополнении содержащего а подпространства. Б. к. точек симплекса неотрицательны и их сумма равна единице. Обращение в нуль [img: http://localhost:8080/file/010203-92.jpg] Б. к. равносильно тому, что точка лежит на противоположной вершине [img: http://localhost:8080/file/010203-93.jpg] грани симплекса [img: http://localhost:8080/file/010203-94.jpg]. Это позволяет рассматривать Б. к. точек геометрич. комплекса относительно всех его вершин. При помощи Б. к. производится барицентрическое подразделение комплекса. По аналогии с этим вводится формальное определение Б. к. для абстрактных симплексов (см. [3]).