Барьер

барьер Лебега, в теории потенциала- функция, существование к-рой является необходимым и достаточным условием регулярности граничной точки в отношении поведения обобщенного решения задачи Дирихле в этой точке (см. также Перрона метод. Регулярная точка). Пусть D - область в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010203-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-108.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010203-109.jpg] - точка ее границы [img: http://localhost:8080/file/010203-110.jpg]. Барьером для точки [img: http://localhost:8080/file/010203-111.jpg] наз. всякая функция wx (x), непрерывная в пересечении [img: http://localhost:8080/file/010203-112.jpg] замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/010203-113.jpg] и нек-рого шара [img: http://localhost:8080/file/010203-114.jpg] с центром в точке [img: http://localhost:8080/file/010203-115.jpg], супергармоническая внутри [img: http://localhost:8080/file/010203-116.jpg] и положительная в [img: http://localhost:8080/file/010203-117.jpg], за исключением точки [img: http://localhost:8080/file/010203-118.jpg], в к-рой она обращается в нуль. Напр., при [img: http://localhost:8080/file/010203-119.jpg] во всякой граничной точке [img: http://localhost:8080/file/010203-120.jpg], для к-рой существует замкнутый шар [img: http://localhost:8080/file/010203-121.jpg], имеющий с [img: http://localhost:8080/file/010203-122.jpg] единственную общую точку [img: http://localhost:8080/file/010203-123.jpg], в качестве Б. можно взять гармонич. функцию [img: http://localhost:8080/file/010203-124.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010203-125.jpg] - радиус шара [img: http://localhost:8080/file/010203-126.jpg] - его центр. Б. в теории функций комплексного переменного- функция, из существования к-рой для всех граничных точек области Dследует, что Dявляется голоморфности областью. Пусть D - область в комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010203-127.jpg] - точка границы [img: http://localhost:8080/file/010203-128.jpg]. Б. в точке [img: http://localhost:8080/file/010203-129.jpg] есть всякая аналитич. функция [img: http://localhost:8080/file/010203-130.jpg], имеющая особенность в [img: http://localhost:8080/file/010203-131.jpg]. Так, для граничной точки [img: http://localhost:8080/file/010203-132.jpg] любой плоской области [img: http://localhost:8080/file/010203-133.jpg] Б. является функция [img: http://localhost:8080/file/010203-134.jpg]. В каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010203-135.jpg] границы шара [img: http://localhost:8080/file/010203-136.jpg] также существует Б. - функция [img: http://localhost:8080/file/010203-137.jpg]. Б. существует в граничной точке [img: http://localhost:8080/file/010203-138.jpg] области D, если в Dопределена аналитпч. функция [img: http://localhost:8080/file/010203-139.jpg], неограниченная в [img: http://localhost:8080/file/010203-140.jpg], т. е. такая, что для нек-рой последовательности точек [img: http://localhost:8080/file/010203-141.jpg], сходящейся к [img: http://localhost:8080/file/010203-143.jpg], имеем [img: http://localhost:8080/file/010203-142.jpg] Обратное справедливо для областей [img: http://localhost:8080/file/010203-144.jpg] в следующей усиленной форме: для любого множества Еточек границы области D, в к-рых существует Б., найдется голоморфная в Dфункция, неограниченная во всех точках Е. Если Евсюду плотно на границе D, то D - область голоморфности.