Безгранично делимое распределение

распределение вероятностей, к-рое при любом п=2,3, 4,... может быть представлено как композиция (свертка) подинаковых распределений вероятностей. Определение Б. д. р. в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в нек-рых еще более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай. Характеристич. функции f(t).В. д. р. наз. безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом пможет быть представлена как n-я степень некоторой другой характеристич. функции: [img: http://localhost:8080/file/010203-183.jpg] Примерами Б. д. р. могут служить нормальное распределение, Пуассона распределение, Коши распределение, "хu-квадрат" распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристич. функций. Композиция Б. д. р. и предел слабо сходящейся последовательности Б. д. р. суть снова Б. д. р. Случайную величину, определенную на нек-ром вероятностном пространстве, наз. безгранично делимой, если при любом пона может быть представлена в виде суммы пнезависимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на том же пространстве. Распределение каждой такой величины - Б. д. р. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами m=0, 1, 2,... с приписанными им пуассоновскими вероятностями [img: http://localhost:8080/file/010203-184.jpg] то случайная величина [img: http://localhost:8080/file/010203-185.jpg] не будет безгранично делимой, хотя ее распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть Б. д. Б. д. р. впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. [1], [2], [3]). Так называют процессы [img: http://localhost:8080/file/010203-186.jpg] удовлетворяющие требованиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/010203-187.jpg] 2) распределение вероятностей приращения [img: http://localhost:8080/file/010203-188.jpg] зависит только от [img: http://localhost:8080/file/010203-189.jpg]; 3) при [img: http://localhost:8080/file/010203-190.jpg] разности [img: http://localhost:8080/file/010203-191.jpg] являются взаимно независимыми случайными величинами; 4) для любого [img: http://localhost:8080/file/010203-192.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-193.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010203-194.jpg]. Для такого процесса значение [img: http://localhost:8080/file/010203-195.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/010203-196.jpg] будет иметь Б. д. р. и соответствующая характеристич. функция удовлетворяет соотношению: [img: http://localhost:8080/file/010203-197.jpg] Общий вид [img: http://localhost:8080/file/010203-198.jpg] для таких процессов в предположении конечности дисперсий [img: http://localhost:8080/file/010203-199.jpg] был найден А. Н. Колмогоровым [2] (частный случай приводимого ниже общего канонич. представления Б. д. р.). Характеристич. функция Б. д. р. нигде не обращается в нуль, и ее логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида: [img: http://localhost:8080/file/010203-200.jpg] (так наз. каноническое представление Леви- Хинчина), где [img: http://localhost:8080/file/010203-201.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-202.jpg] - нек-рая действительная постоянная, [img: http://localhost:8080/file/010203-203.jpg] - неубывающая функция ограниченной вариации с [img: http://localhost:8080/file/010203-204.jpg] Подинтегральное выражение при [img: http://localhost:8080/file/010203-205.jpg] принимают равным [img: http://localhost:8080/file/010203-206.jpg] При любом выборе постоянной [img: http://localhost:8080/file/010203-207.jpg] и функции [img: http://localhost:8080/file/010203-208.jpg] с указанными выше свойствами формула (*) определяет логарифм характеристич. функции нек-рого Б. д. р. Соответствие между Б. д. р. и парами [img: http://localhost:8080/file/010203-209.jpg] взаимно однозначно ивзаимно непрерывно. Последнее означает, что Б. д. р. слабо сходятся к предельному Б. д. р. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010203-210.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010203-211.jpg] слабо сходятся к [img: http://localhost:8080/file/010203-212.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010203-213.jpg] Примеры. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010203-214.jpg] Тогда для нормального распределения с математич. ожиданием [img: http://localhost:8080/file/010203-215.jpg] и дисперсией [img: http://localhost:8080/file/010203-216.jpg] в формуле [img: http://localhost:8080/file/010203-217.jpg] следует положить [img: http://localhost:8080/file/010203-218.jpg] Для распределения Пуассона с параметром [img: http://localhost:8080/file/010203-220.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/010203-219.jpg] Для распределения Коши с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010203-221.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/010203-222.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-223.jpg] Канонич. представление (*) удобно с чисто "технической" точки зрения (благодаря тому, что Gимеет ограниченную вариацию), однако функция Gне имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления Б. д. р., допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции [img: http://localhost:8080/file/010203-224.jpg] определены при [img: http://localhost:8080/file/010203-225.jpg] соответственно, формулами: [img: http://localhost:8080/file/010203-226.jpg] Эти функции неубывающие, [img: http://localhost:8080/file/010203-227.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010203-228.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010203-229.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-230.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010203-231.jpg] в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через s 2 скачок функции Gв нуле, формулу (*) можно переписать в виде: [img: http://localhost:8080/file/010203-232.jpg] (каноническое представление Леви). Функции [img: http://localhost:8080/file/010203-233.jpg] описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе [img: http://localhost:8080/file/010203-234.jpg] с независимыми приращениями, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010203-235.jpg] Важная роль Б. д. р. в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчиненных требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий [img: http://localhost:8080/file/010203-236.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010203-237.jpg] взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины [img: http://localhost:8080/file/010203-238.jpg] имеющие Б. д. р. (так наз. сопровождающие Б. д. р.); характеристич. функция [img: http://localhost:8080/file/010203-239.jpg] величины [img: http://localhost:8080/file/010203-240.jpg] определяется по характеристич. функции [img: http://localhost:8080/file/010203-241.jpg] величины [img: http://localhost:8080/file/010203-242.jpg] так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм [img: http://localhost:8080/file/010203-243.jpg] сходятся к предельному распределению (при нек-ром выборе констант [img: http://localhost:8080/file/010203-244.jpg]) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм [img: http://localhost:8080/file/010203-245.jpg] Для симметричного распределения [img: http://localhost:8080/file/010203-246.jpg] полагают [img: http://localhost:8080/file/010203-247.jpg] В других случаях выражение [img: http://localhost:8080/file/010203-248.jpg] сложнее и содержит так наз. урезанные математич. ожидания [img: http://localhost:8080/file/010203-249.jpg] Свойства Б. д. р. описывают в терминах функций, входящих в канонич. представления. Так, напр., безгранично делимая функция распределения [img: http://localhost:8080/file/010203-250.jpg] непрерывна тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010203-251.jpg] Важным частным случаем Б. д. р. являются так наз. устойчивые распределения. См. также Безгранично делимых распределений разложение.