Бейесовский подход

к статистическим задачам - подход, основанный на предположении, что всякому параметру в статистич. проблеме принятия решения приписано нек-рое распределение вероятностей. Всякая общая статистич. проблема принятия решения определяется следующими элементами: пространством [img: http://localhost:8080/file/010204-82.jpg] выборок [img: http://localhost:8080/file/010204-83.jpg], пространством [img: http://localhost:8080/file/010204-84.jpg] значений неизвестного параметра [img: http://localhost:8080/file/010204-85.jpg], семейством распределений вероятностей [img: http://localhost:8080/file/010204-86.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010204-87.jpg] пространством решений [img: http://localhost:8080/file/010204-88.jpg] п функцией [img: http://localhost:8080/file/010204-89.jpg], характеризующей потери от принятия решения d, когда истинное значение параметра есть [img: http://localhost:8080/file/010204-90.jpg]. Цель же проблемы принятия решения состоит в отыскании в определенном смысле наилучшего правила (решающей функции) [img: http://localhost:8080/file/010204-91.jpg], сопоставляющей каждому результату наблюдения. [img: http://localhost:8080/file/010204-92.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/010204-93.jpg]. При Б. п., когда считается, что неизвестный параметр 0 является случайной величиной с заданным (априорным) распределением [img: http://localhost:8080/file/010204-94.jpg], наилучшая решающая функция (бейесовская решающая функция) [img: http://localhost:8080/file/010204-95.jpg] определяется как функция, на к-рой достигаются минимальные полные потери [img: http://localhost:8080/file/010204-96.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010204-97.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010204-98.jpg] Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/010204-99.jpg] При отыскании бейесовской решающей функции [img: http://localhost:8080/file/010204-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-101.jpg] полезным оказывается следующее замечание. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010204-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-103.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010204-104.jpg] - некоторые s-конечные меры. Тогда, предполагая возможным смену порядков интегрирования, находим [img: http://localhost:8080/file/010204-105.jpg] Отсюда видно, что для данного [img: http://localhost:8080/file/010204-106.jpg] есть то значение [img: http://localhost:8080/file/010204-107.jpg], на к-ром достигается [img: http://localhost:8080/file/010204-108.jpg] или, что эквивалентно, [img: http://localhost:8080/file/010204-109.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-110.jpg] Но по Бейеса формуле [img: http://localhost:8080/file/010204-111.jpg] Тем самым для данного [img: http://localhost:8080/file/010204-112.jpg] есть то значение [img: http://localhost:8080/file/010204-113.jpg], на к-ром достигают минимума условные средние потери [img: http://localhost:8080/file/010204-114.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/010204-115.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010204-116.jpg] откуда следует, что [img: http://localhost:8080/file/010204-117.jpg] достигается на функции [img: http://localhost:8080/file/010204-118.jpg] Преимущество Б. п. состоит в том, что полные потери [img: http://localhost:8080/file/010204-119.jpg] оказываются числом (в отличие от потерь [img: http://localhost:8080/file/010204-120.jpg], зависящих от неизвестного параметра [img: http://localhost:8080/file/010204-121.jpg]), и, следовательно, заведомо существуют, если и не оптимальные, то, по крайней мере, [img: http://localhost:8080/file/010204-122.jpg] -оптимальные ([img: http://localhost:8080/file/010204-123.jpg]) решающие функции [img: http://localhost:8080/file/010204-124.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010204-125.jpg] Недостатком Б. п. является необходимость постулировать как существование априорного распределения для неизвестного параметра, так и знание его формы (в определенной степени последнее обстоятельство преодолевается в рамках бейесовского подхода эмпирического).