Бейесовский подход эмпирический

статистич. интерпретация бейесовского подхода к построению выводов о ненаблюдаемых значениях случайных параметров при неизвестном их априорном распределении. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010204-126.jpg] - случайный вектор, причем предполагается, что плотность [img: http://localhost:8080/file/010204-127.jpg] условного распределения Yпри любом заданном значении случайного параметра [img: http://localhost:8080/file/010204-128.jpg] известна. Если в результате нек-рого эксперимента наблюдается лишь реализация Y, а соответствующая реализация Xнеизвестна и требуется оценить значение заданной функции [img: http://localhost:8080/file/010204-129.jpg] от ненаблюдаемой реализации, то согласно Б. п. э. в качестве приближенного значения [img: http://localhost:8080/file/010204-130.jpg] следует использовать условное математич. ожидание Е{j(Х)|Y}, к-рое в силу Бейеса формулы выражается отношением [img: http://localhost:8080/file/010204-131.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-132.jpg] - плотность безусловного (априорного) распределения [img: http://localhost:8080/file/010204-133.jpg] - соответствующая [img: http://localhost:8080/file/010204-134.jpg] -конечная мера; функция [img: http://localhost:8080/file/010204-135.jpg] представляет собой плотность безусловного распределения [img: http://localhost:8080/file/010204-136.jpg]. Если априорная плотность [img: http://localhost:8080/file/010204-137.jpg] неизвестна, то вычисление значений [img: http://localhost:8080/file/010204-138.jpg] невозможно. Однако, если имеется достаточно большое количество реализаций независимых случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010204-139.jpg] подчиняющихся распределению с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010204-140.jpg] то для [img: http://localhost:8080/file/010204-141.jpg] можно построить состоятельную оценку [img: http://localhost:8080/file/010204-142.jpg] зависящую лишь от [img: http://localhost:8080/file/010204-143.jpg] Для оценки значения [img: http://localhost:8080/file/010204-144.jpg] Бернштейн [1] предложил заменить в (2) [img: http://localhost:8080/file/010204-145.jpg] и найти решение [img: http://localhost:8080/file/010204-146.jpg] этого интегрального уравнения, а затем подставить [img: http://localhost:8080/file/010204-147.jpg] в правую часть (1). Однако этот путь затруднителен, так как решение указанного интегрального уравнения принадлежит к числу некорректно поставленных задач вычислительной математики. В нек-рых исключительных случаях статистич. подход может быть применен не только для оценки [img: http://localhost:8080/file/010204-148.jpg], но и [img: http://localhost:8080/file/010204-149.jpg] (см. [3]). Такая возможность возникает тогда, когда справедливо тождество относительно [img: http://localhost:8080/file/010204-150.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-151.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-152.jpg] - функции, зависящие лишь от у, а [img: http://localhost:8080/file/010204-153.jpg] как функция от zявляется плотностью вероятности (т. е. ее можно рассматривать как плотность условного распределения нек-рой случайной величины [img: http://localhost:8080/file/010204-154.jpg] при заданном значении [img: http://localhost:8080/file/010204-155.jpg]). Если (3) справедливо, то числитель отношения (1) равен произведению [img: http://localhost:8080/file/010204-156.jpg] - плотность безусловного распределения Z. Т. о., если имеется достаточно большое количество реализаций независимых случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010204-157.jpg] подчиняющихся распределению с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010204-158.jpg], то для [img: http://localhost:8080/file/010204-159.jpg] можно построить состоятельную оценку [img: http://localhost:8080/file/010204-160.jpg], а значит, и найти состоятельную оценку [img: http://localhost:8080/file/010204-162.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010204-163.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010204-161.jpg] Напр., если требуется оценить [img: http://localhost:8080/file/010204-164.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010204-165.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010204-166.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010204-167.jpg] Так как здесь [img: http://localhost:8080/file/010204-168.jpg]. Поэтому [img: http://localhost:8080/file/010204-169.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-170.jpg] т. е. для отыскания [img: http://localhost:8080/file/010204-171.jpg] нужна лишь последовательность реализаций [img: http://localhost:8080/file/010204-172.jpg] Если же [img: http://localhost:8080/file/010204-173.jpg] целое > 0; [img: http://localhost:8080/file/010204-174.jpg]), то [img: http://localhost:8080/file/010204-175.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010204-176.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010204-177.jpg]. Поэтому для построения [img: http://localhost:8080/file/010204-178.jpg] в этом случае нужно иметь две последовательности эмпирических значений [img: http://localhost:8080/file/010204-179.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010204-180.jpg]. Указанная методика Б. п. э. применима к весьма узкому классу плотностей [img: http://localhost:8080/file/010204-181.jpg] и функций [img: http://localhost:8080/file/010204-182.jpg], удовлетворяющему условию (3); и если даже это условие выполняется, то для построения оценки (4) нужно располагать реализациями случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010204-183.jpg], распределение к-рых, как правило, отлично от распределения непосредственно наблюдаемых величин [img: http://localhost:8080/file/010204-184.jpg]. Для практич. целей предпочтительнее видоизмененная методика Б. п. э., лишенная указанных недостатков. Суть этого видоизменения заключается в построении не самой состоятельной оценки для [img: http://localhost:8080/file/010204-185.jpg] (эта оценка может и не существовать), а нижней и верхней оценок для этой функции, отыскание к-рых сводится к решению задачи линейного программирования следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010204-186.jpg] - условные минимум и максимум линейного функционала (относительно неизвестной априорной плотности [img: http://localhost:8080/file/010204-187.jpg]) в числителе (1), вычисленные при линейных условиях [img: http://localhost:8080/file/010204-188.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010204-189.jpg] - упомянутая выше оценка для [img: http://localhost:8080/file/010204-190.jpg], построенная по результатам наблюдений [img: http://localhost:8080/file/010204-191.jpg]). В таком случае можно заключить, что [img: http://localhost:8080/file/010204-192.jpg], причем вероятность справедливости такого заключения в силу больших чисел закона стремится к единице при неограниченном увеличении количества случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010204-193.jpg], используемых при построении оценки [img: http://localhost:8080/file/010204-194.jpg]. Возможны и другие видоизменения Б. п. э., напр., за счет добавления к последнему условию [img: http://localhost:8080/file/010204-195.jpg] конечного числа условий вида [img: http://localhost:8080/file/010204-196.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010204-197.jpg] - заранее заданные числа; если [img: http://localhost:8080/file/010204-198.jpg] заменить соответствующими доверительными пределами для [img: http://localhost:8080/file/010204-199.jpg], то получаются условия в виде неравенств [img: http://localhost:8080/file/010204-200.jpg] и т. д. В нек-рых практически важных случаях для функций [img: http://localhost:8080/file/010204-201.jpg] удается найти удовлетворительные мажоранты, вычисляемые без применения трудоемких методов линейного программирования (см. пример, посвященный статистич. контролю, в ст. Выборочный метод). О применении Б. п. э. к решению задач статистич. проверки гипотез о значениях случайных параметров см. Дискриминантный анализ.