Белый шум

- обобщенный стационарный случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/010204-218.jpg] с постоянной спектральной плотностью. Корреляционная (обобщенная) функция процесса Б. ш. имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010204-219.jpg] - нек-рая положительная постоянная, а [img: http://localhost:8080/file/010204-220.jpg] -дельта-функция. Процесс Б. ш. широко используется в приложениях для описания случайных возмущений с очень малым временем корреляции (напр., "теплового шума" - пульсаций силы тока в проводнике, вызываемых тепловым движением электронов). В спектральном разложении Б. ш. [img: http://localhost:8080/file/010204-221.jpg] "элементарные колебания" [img: http://localhost:8080/file/010204-222.jpg] при всех частотах [img: http://localhost:8080/file/010204-223.jpg] имеют в среднем одинаковую интенсивность, точнее, их средний квадрат амплитуды есть [img: http://localhost:8080/file/010204-224.jpg] Указанное выше спектральное разложение означает, что для любой интегрируемой с квадратом функции [img: http://localhost:8080/file/010204-226.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-225.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-227.jpg] - преобразование Фурье [img: http://localhost:8080/file/010204-228.jpg]; более явная зависимость обобщенного процесса [img: http://localhost:8080/file/010204-229.jpg] от функции [img: http://localhost:8080/file/010204-230.jpg] может быть описана с помощью соответствующей стохастич. меры [img: http://localhost:8080/file/010204-231.jpg] того же типа, что и [img: http://localhost:8080/file/010204-232.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010204-233.jpg] - преобразование Фурье стохастич. меры [img: http://localhost:8080/file/010204-234.jpg]), а именно [img: http://localhost:8080/file/010204-235.jpg] Гауссовскпй белый шум [img: http://localhost:8080/file/010204-236.jpg], являющийся обобщенной производной от броуновского движения [img: http://localhost:8080/file/010204-237.jpg], служит основой для построения стохастических диффузионных процессов [img: http://localhost:8080/file/010204-238.jpg],"управляемых" стохастическими дифференциальными уравнениями вида [img: http://localhost:8080/file/010204-239.jpg] эти уравнения обычно записывают в форме дифференциалов: [img: http://localhost:8080/file/010204-240.jpg] Другой важной моделью с использованием Б. ш. является случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/010204-241.jpg], описывающий поведение устойчивой колебательной системы под воздействием стационарных случайных возмущений [img: http://localhost:8080/file/010204-242.jpg], когда [img: http://localhost:8080/file/010204-243.jpg] не зависят от [img: http://localhost:8080/file/010204-244.jpg] простейшим примером может служить система вида [img: http://localhost:8080/file/010204-245.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-246.jpg] - многочлен с корнями в левой полуплоскости; после затухания "переходных процессов" [img: http://localhost:8080/file/010204-247.jpg] В приложениях, при описании так наз. процессов дробового эффекта, большую роль играет Б. ш. вида [img: http://localhost:8080/file/010204-249.jpg] (k изменяется от [img: http://localhost:8080/file/010204-248.jpg] - случайные моменты, распределенные во времени по пуас-соновскому закону), точнее, [img: http://localhost:8080/file/010204-250.jpg] является обобщенной производной пуассоновского процесса h(t).Сам процесс дробового эффекта имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010204-251.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-252.jpg] - нек-рая весовая функция, удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/010204-253.jpg] при этом среднее значение обобщенного процесса [img: http://localhost:8080/file/010204-254.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010204-255.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010204-256.jpg] где а - параметр упомянутого выше пуассоновского закона, и стохастич. мера [img: http://localhost:8080/file/010204-257.jpg] в спектральном представлении [img: http://localhost:8080/file/010204-258.jpg] этого процесса такова, что [img: http://localhost:8080/file/010204-259.jpg]