Бернштейна теорема

о минимальных поверхностях: если минимальная поверхность задана уравнением. [img: http://localhost:8080/file/010206-244.jpg], где f имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков при всех действительных хи y, то F - плоскость. кривизной. Предложены многочисленные обобщения Б. т., идущие гл. обр. в трех направлениях: 1) Количественные уточнения; напр., получение априорных оценок вида [img: http://localhost:8080/file/010207-1.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010207-2.jpg] - радиус круга, над к-рым определена минимальная поверхность [img: http://localhost:8080/file/010207-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010207-4.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010207-5.jpg] - гауссова кривизна поверхности в центре круга. 2) Поиски других априорно задаваемых геометрич. условий, при удовлетворении к-рым минимальная поверхность необходима была бы какой-нибудь конкретной поверхностью: плоскостью, катеноидом и т. д.; напр., если сферич. образ полной минимальной поверхности не содержит нек-рое открытое на сфере множество, то такая минимальная поверхность есть плоскость. 3) Перенесение Б. т. на минимальные поверхности [img: http://localhost:8080/file/010207-6.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/010207-7.jpg], расположенные в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010207-8.jpg]; напр., если [img: http://localhost:8080/file/010207-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010207-10.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/010207-11.jpg] всякая минимальная поверхность, однозначно определенная над всем [img: http://localhost:8080/file/010207-12.jpg], есть гиперплоскость, а при [img: http://localhost:8080/file/010207-13.jpg] существуют минимальные поверхности, отличные от плоскости; если же [img: http://localhost:8080/file/010207-14.jpg], то уже при [img: http://localhost:8080/file/010207-15.jpg] можно найти нелинейные минимальные поверхности [img: http://localhost:8080/file/010207-16.jpg], определенные над всем [img: http://localhost:8080/file/010207-17.jpg].