Бернштейн а неравенство

- 1) Б. н. в теории вероятностей -. уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]); позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010206-215.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010206-216.jpg] выполняется [img: http://localhost:8080/file/010206-217.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010206-218.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010206-219.jpg] - постоянная, не зависящая от [img: http://localhost:8080/file/010206-220.jpg]), то для суммы [img: http://localhost:8080/file/010206-221.jpg] справедливо Б. н. [img: http://localhost:8080/file/010206-223.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010206-222.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-224.jpg] Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010206-225.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010206-226.jpg] неравенство (1) приооретает наиболее простои вид: [img: http://localhost:8080/file/010206-227.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-228.jpg] А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна- Колмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым Центральной предельной теоремой в виде [img: http://localhost:8080/file/010206-229.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-230.jpg]. После 1967 одномерные Б. н. были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи. Лит.-[1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [3] Hoeffding W.; "J. Amer. Statist. Assoc.", 1963, v. 58, № 301, p. 13-30; [4] Прохоров Ю. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74; [5] Прохоров А. В., "Матем. заметки", 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9; [6] Юринский В. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7. А. В. Прохоров. 2) В. н. для производной от тригонометрич. полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если [img: http://localhost:8080/file/010206-231.jpg] - тригонометрич. полином порядка не выше п, [img: http://localhost:8080/file/010206-232.jpg] то для любого хвыполняются неравенства (см. [1]): [img: http://localhost:8080/file/010206-233.jpg] Оценка неулучшаема; ибо число М= 1 для [img: http://localhost:8080/file/010206-234.jpg]. и [img: http://localhost:8080/file/010206-235.jpg] Б. н. для тригонометрич. полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]: если [img: http://localhost:8080/file/010206-236.jpg] - целая функция степени [img: http://localhost:8080/file/010206-237.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010206-238.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010206-239.jpg] Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий смысл [1]: если многочлен [img: http://localhost:8080/file/010206-240.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/010206-241.jpg] то для его производной [img: http://localhost:8080/file/010206-242.jpg] выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/010206-243.jpg] к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым. Б. н. существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций многих переменных.