Бертрана парадокс

(в теории вероятностей) - один из парадоксов, связанных с нечеткой формулировкой исходных допущений при решении вероятностных задач. Отмечен Ж. Бертраном [1]. В задаче Бертрана разыскивается вероятность того, что длина хорды, "наудачу" выбранной в круге радиуса 1, превзойдет длину стороны вписанного правильного треугольника: Ж. Бертран указывает три различных значения искомой вероятности [img: http://localhost:8080/file/010207-57.jpg], в зависимости от того, какими параметрами характеризуется положение хорды (в первом случае - расстоянием [img: http://localhost:8080/file/010207-58.jpg] до центра круга и углом [img: http://localhost:8080/file/010207-59.jpg] между нормалью к хорде и осью x;во втором - угловыми координатами [img: http://localhost:8080/file/010207-60.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010207-61.jpg] точек пересечения хорды с окружностью; в третьем - декартовыми координатами [img: http://localhost:8080/file/010207-62.jpg] основания перпендикуляра, опущенного из центра круга; во всех трех случаях центр круга расположен в начале координат). А. Пуанкаре [2] показал, что источник парадокса заключается в следующем: каждый раз соответствующую пару параметров предполагают равномерно распределенной в соответствующей области и таким образом решают три различные задачи. Если распределение к.-л. пары (скажем, [img: http://localhost:8080/file/010207-63.jpg]) фиксировано, то распределение любых других параметров однозначно вычисляется (и не обязано быть равномерным, даже если [img: http://localhost:8080/file/010207-64.jpg] распределены равномерно). Наиболее естественным (с геометрической точки зрения) является предположение о том, что [img: http://localhost:8080/file/010207-65.jpg] независимы и распределены равномерно в интервале [img: http://localhost:8080/file/010207-66.jpg] (см. [3]).