Бесконечное произведение

выражение [img: http://localhost:8080/file/010208-84.jpg] содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений [img: http://localhost:8080/file/010208-85.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010208-86.jpg]. 3начением Б. п. наз. этот предел [img: http://localhost:8080/file/010208-87.jpg] и пишут [img: http://localhost:8080/file/010208-88.jpg] Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/010208-89.jpg] Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. абсолютно сходящимся, если сходится Б. п. [img: http://localhost:8080/file/010208-90.jpg] для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд [img: http://localhost:8080/file/010208-91.jpg] Б. п. обладает переместительным свойством (т. е. его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б. п. (*) с функциональными сомножителями [img: http://localhost:8080/file/010208-92.jpg] определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений [img: http://localhost:8080/file/010208-93.jpg] сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте [img: http://localhost:8080/file/010208-94.jpg] их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта [img: http://localhost:8080/file/010208-95.jpg] существует такой номер [img: http://localhost:8080/file/010208-96.jpg], что все сомножители [img: http://localhost:8080/file/010208-97.jpg] на kпри [img: http://localhost:8080/file/010208-98.jpg] и последовательность частичных произведений [img: http://localhost:8080/file/010208-99.jpg] сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители - аналитич. функции на D и Б. п. сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. функцию. Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. редставление числа p, построив следующее Б. п.: [img: http://localhost:8080/file/010208-100.jpg] Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665): [img: http://localhost:8080/file/010208-101.jpg] Б. п. с функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.: [img: http://localhost:8080/file/010208-102.jpg] Б. п.- основной аппарат для представления аналитич. функций с явным указанием их нулей; они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение.