Бесконечномерное пространство

нормальное T1- пространство X(см. Нормальное пространство).такое, что ни для какого [img: http://localhost:8080/file/010209-27.jpg] не выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010209-28.jpg] и для любого [img: http://localhost:8080/file/010209-29.jpg] найдется такое конечное открытое покрытие [img: http://localhost:8080/file/010209-30.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-31.jpg], что любое вписанное в [img: http://localhost:8080/file/010209-32.jpg] конечное открытое покрытие этого пространства будет иметь кратность [img: http://localhost:8080/file/010209-33.jpg], Примерами Б. и тихоновский куб [img: http://localhost:8080/file/010209-35.jpg].Большинство встречающихся в функциональном анализе пространств также бесконечномерно. Нормальное [img: http://localhost:8080/file/010209-36.jpg] -пространство [img: http://localhost:8080/file/010209-37.jpg] наз. бесконечномерным в смысле большой (соответственно, малой) индуктивной размерности, если неравенство [img: http://localhost:8080/file/010209-38.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010209-39.jpg]) не выполняется ни для какого [img: http://localhost:8080/file/010209-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010209-41.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010209-42.jpg] есть Б. Одним из наиболее естественных подходов к пзуче-нию Б. и большой трансфинитной размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-44.jpg]. Этот подход заключается в распространении определений малой и большой индуктивных размерностей на бесконечные порядковые числа. Не для всякого Б. п. Xопределены трансфинитные размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010209-46.jpg]. Напр., обе эти размерности не определены для гильбертова кирпича. Для пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-47.jpg], распадающегося в дискретную сумму [img: http://localhost:8080/file/010209-48.jpg] -мерных кубов [img: http://localhost:8080/file/010209-49.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010209-50.jpg] малая трансфинитная размерность не определена. Если для нормального пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-51.jpg] определена трансфинитная размерность [img: http://localhost:8080/file/010209-52.jpg] (соответственно Ind X), то она равна порядковому числу, мощность к-рого не превосходит веса [img: http://localhost:8080/file/010209-53.jpg] (соответственно большого веса [img: http://localhost:8080/file/010209-54.jpg]) пространства X. В частности, если пространство Xобладает счетной базой, то [img: http://localhost:8080/file/010209-55.jpg], а если Х - компакт, то и [img: http://localhost:8080/file/010209-56.jpg]. Для метрич. пространств также [img: http://localhost:8080/file/010209-57.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010209-58.jpg], то существуют компакты [img: http://localhost:8080/file/010209-59.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010209-60.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010209-61.jpg] Если трансфинитная размерность [img: http://localhost:8080/file/010209-62.jpg] определена, то определена трансфинитная размерность [img: http://localhost:8080/file/010209-63.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010209-64.jpg]. Построены компакты, для к-рых трансфинитная размерность [img: http://localhost:8080/file/010209-65.jpg] определена и [img: http://localhost:8080/file/010209-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010209-67.jpg] Из определенности трансфинитной размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-68.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010209-69.jpg]) пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-70.jpg] вытекает определенность трансфинитной размерности ind X(соответственно [img: http://localhost:8080/file/010209-71.jpg]) для любого (соответственно любого замкнутого) множества [img: http://localhost:8080/file/010209-72.jpg] и выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010209-73.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010209-74.jpg]). Для максимального бикомпактного расширения [img: http://localhost:8080/file/010209-75.jpg] нормального пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-76.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/010209-77.jpg]. Нормальное пространство [img: http://localhost:8080/file/010209-78.jpg] веса [img: http://localhost:8080/file/010209-79.jpg] и трансфинитной размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-80.jpg] обладает бикомпактным расширением [img: http://localhost:8080/file/010209-81.jpg] веса [img: http://localhost:8080/file/010209-82.jpg] и размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-83.jpg]. Существует пространство Lсо счетной базой и размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-84.jpg], у к-рого никакое бикомпактное со счетной базой расширение [img: http://localhost:8080/file/010209-85.jpg] не имеет размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-86.jpg]. Метризуемое пространство Rтрансфинитной размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-87.jpg] обладает метрикой, пополнение [img: http://localhost:8080/file/010209-88.jpg] по которой имеет размерность [img: http://localhost:8080/file/010209-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010209-90.jpg]. Метризуемое со счетной базой пространство Rтрансфинитной размерности [img: http://localhost:8080/file/010209-91.jpg] обладает метрикой, [img: http://localhost:8080/file/010209-92.jpg] пополнение [img: http://localhost:8080/file/010209-93.jpg] по которой имеет размерность Класс пространств, для к-рых определена большая или малая трансфинитная размерность, тесно связан с классом счетномерных пространств:если полное мет-рич. пространство счетномерно, то для него определена малая трансфинитная размерность; если для пространства со счетной базой определена малая трансфинитная размерность, то оно счетномерно; если для метрич. пространства определена большая трансфинитная размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно счетномерно; для счетномерного компакта определена большая трансфинитная размерность. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010209-94.jpg] счетномерно и бесконечномерно. Гильбертов кирпич не счетномерен. Счетномерность метрич. пространства Rэквивалентна любому из следующих свойств: а) существует конечнократное (но, вообще говоря, не к-кратное ни для какого [img: http://localhost:8080/file/010209-95.jpg]) непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство [img: http://localhost:8080/file/010209-96.jpg]; б) существует счетнократное непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство R. Теоремы о представимости n-мерного метрич. пространства в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/010209-97.jpg] нульмерных слагаемых и в виде образа нульмерного метрич. пространства при непрерывном замкнутом и [img: http://localhost:8080/file/010209-98.jpg] -кратном отображении указывают на естественность рассмотрения класса счет-номерных (метрических) пространств и на его близость к классу конечномерных пространств. Как и в конечномерном случае, в классе счетномерных метрич. пространств веса [img: http://localhost:8080/file/010209-99.jpg] существует универсальное в смысле гомеоморфного вложения пространство. Если нормальное пространство представлено в виде конечной или счетной суммы своих счетномерных подпространств, то оно счетномерно. Подпространство счет-номерного совершенно нормального пространства счетномерно. Взаимоотношения между счетномерными и не счетно-мерными пространствами описывает следующее утверждение: если отображение [img: http://localhost:8080/file/010209-100.jpg] метрич. пространств Rи Sнепрерывно и замкнуто, пространство Rсчетно-мерно, а пространство Sне счетномерно, то множество [img: http://localhost:8080/file/010209-101.jpg] также не счетномерно. Помимо счетномерных пространств, естественным расширением класса конечномерных пространств является класс слабо счетномерных пространств. Если рассматривать только метризуемые пространства, то.слабо счетномерные пространства занимают промежуточное положение между конечномерными и счетвомерными пространствами. При этом существуют счетномерные не слабо счетномерные компакты, а пространство И I n слабо счетномерно и бесконечномерно. Замкнутое подпространство слабо счетномерного пространства слабо счетномерно. Нормальное пространство слабо счетно-мерно, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы своих слабо счетномерных замкнутых подмножеств. В классах нормальных слабо счетномерных и метрических слабо счетномерных пространств существуют универсальные в смысле гомеоморфного вложения пространства. В случае пространств со счетной базой таким пространством будет подпространство [img: http://localhost:8080/file/010209-102.jpg] гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь конечное число координат к-рых отлично от нуля. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010209-103.jpg] не имеет слабо счетномерных бикомпактных расширений. Все рассмотренные выше классы Б. является А-слабо бесконечномерным, но S-сильно бесконечномерным. В случае бикомпактов определения А - и S- слабой (сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому А-слабо (сильно) бесконечномерные бикомпакты наз. просто слабо (сильно) бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен. Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномерные компакты. Замкнутое, подпространство [img: http://localhost:8080/file/010209-105.jpg] слабо Б. п. является [img: http://localhost:8080/file/010209-106.jpg] ' слабо бесконечномерным. Нормальное.пространство, являющееся суммой конечного числа своих замкнутых S-слабо бесконечномерных множеств, само S-слабо бесконечномерно. Паракомпакт, являющийся суммой конечной или счетной системы своих замкнутых А-слабо бесконечномерных множеств, сам А-слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное пространство, являющееся суммой конечной или счетной системы своих А-слабо бесконечномерных множеств, само A-слабо бесконечномерно. Слабо счетномерный паракомпакт является А-слабо бесконечномерным. Наследственно нормальное счет-номерное пространство является А-слабо бесконечномерным. Любой ли слабо бесконечномерный компакт счетномерен - неизвестно (1977). Изучение любых S-слабо бесконечномерных метри-зуемых пространств следующим образом сводится к компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое пространство Rявляется S -слабо бесконечномерным, когда его можно так представить в виде суммы слабо бесконечномерного компакта и конечномерных открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/010209-107.jpg] что для любой дискретной последовательности точек [img: http://localhost:8080/file/010209-108.jpg] существует (зависящее от последовательности) множество [img: http://localhost:8080/file/010209-109.jpg], содержащее все точки [img: http://localhost:8080/file/010209-110.jpg], начиная с нек-рой. Другую возможность изучать бесконечномерные бикомпакты вместо любых S-слабо Б. обладает слабо бесконечномерным бикомпактным расширением веса [img: http://localhost:8080/file/010209-112.jpg]. Все бикомпактные расширения А-слабо Б. сильно бесконечномерны. Бикомпакт сильно бесконечномерен тогда и только тогда, когда имеется такое непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/010209-114.jpg] что для любого множества [img: http://localhost:8080/file/010209-115.jpg] (гомеоморфного n-мерному кубу) ограничение отображения [img: http://localhost:8080/file/010209-116.jpg] на прообраз [img: http://localhost:8080/file/010209-117.jpg] является существенным отображением. Существует бесконечномерный компакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или бесконечномерно. Более того, любой сильно бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или сильно бесконечномерно. В любом сильно бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное канторово многообразие (в смысле П. С. Александрова). Все сенарабельные банаховы пространства гомео-морфны между собой, А-сильно бесконечномерны и го-меоморфны произведению счетной системы прямых.