Бесконечно малое изгибание

понятие, первоначально возникшее при описании деформации поверхности Fв трехмерном евклидовом пространстве, при к-рой изменение длин кривых на Fявляется величиной порядка малости меньшего, чем изменение пространственного расстояния между точками этих кривых. По существу же в теории Б. м. и. исследуются векторные поля и связанные с ними величины, определенные в точках Fи удовлетворяющие тем уравнениям, к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F. Так, если [img: http://localhost:8080/file/010207-163.jpg] - радиус-вектор деформации [img: http://localhost:8080/file/010207-164.jpg] поверхности [img: http://localhost:8080/file/010207-165.jpg], то Б. м. и. Fхарактеризуется (начальной) скоростью деформации - вектором [img: http://localhost:8080/file/010207-166.jpg] к-рый удовлетворяет уравнению [img: http://localhost:8080/file/010207-167.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010207-168.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010207-169.jpg] - радиус-вектор [img: http://localhost:8080/file/010207-170.jpg]. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010207-171.jpg], наз. также полем скоростей Б. м. и., или изгибающим полем. Однозначно определяется вектор утакой, что [img: http://localhost:8080/file/010207-172.jpg] - множество точек пространства, описываемое радиус-вектором у, наз. диаграммой вращения Б. м. и. См. также Дарбу поверхности. В более общей ситуации Б. м. и. многообразия [img: http://localhost:8080/file/010207-173.jpg], расположенного в римановом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010207-174.jpg], представляет собой изометрич. вариацию вложения [img: http://localhost:8080/file/010207-175.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010207-176.jpg], т. е. такое векторное поле вдоль вложения [img: http://localhost:8080/file/010207-177.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010207-178.jpg] - касательное расслоение к [img: http://localhost:8080/file/010207-179.jpg], к-рое удовлетворяет на [img: http://localhost:8080/file/010207-180.jpg] уравнению [img: http://localhost:8080/file/010207-181.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010207-182.jpg] - векторные поля, касательные к вложению, [img: http://localhost:8080/file/010207-183.jpg] - метрическая форма [img: http://localhost:8080/file/010207-184.jpg] - ковариантная произвольная относительно Леви-Чи-вита связности на [img: http://localhost:8080/file/010207-185.jpg], соответствующей [img: http://localhost:8080/file/010207-186.jpg]. Поле [img: http://localhost:8080/file/010207-187.jpg] однозначно определяет поле [img: http://localhost:8080/file/010207-188.jpg] кососимметрических тензоров типа (1,1) вдоль вложения: [img: http://localhost:8080/file/010207-189.jpg] удовлетворяющее уравнению [img: http://localhost:8080/file/010207-190.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010207-191.jpg] - оператор римановой кривизны [img: http://localhost:8080/file/010207-192.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010207-193.jpg] индуцируется Киллинга вектором [img: http://localhost:8080/file/010207-194.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010207-195.jpg] то соответствующее Б. м. и. (а также и Само Z).наз. тривиальным. Если [img: http://localhost:8080/file/010207-196.jpg] допускает только тривиальные Б. м. и., то оно наз. жестким. См. Жесткость. При геодезическом отображении [img: http://localhost:8080/file/010207-197.jpg] Б. м. и. [img: http://localhost:8080/file/010207-198.jpg] с вектором [img: http://localhost:8080/file/010207-199.jpg] однозначно соответствует Б. с вектором [img: http://localhost:8080/file/010207-201.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010207-202.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010207-203.jpg] - потенциал отображения F. В частности, это соответствие имеет место при проективном преобразовании евклидова пространства (теорема Дарбу- 3ауэра) и при геодезич. отображении евклидова пространства в пространство постоянной кривизны (преобразование Погорелова). Изометрич. вариациям высших порядков соответствуют Б. м. и. высших порядков: для них, в отличие от определенных выше Б. м. и. первого порядка, известны лишь отдельные результаты, в основном касающиеся поверхностей вращения. Теория Б. м. и. имеет многочисленные приложения в математике и механике, в частности она применяется в задачах изометрич. вложения методом продолжения по параметру, для исследования изометричных поверхностей пространств постоянной кривизны (см. Кон-Фоссена преобразование), в вопросах устойчивости оболочек и т. д..