Бесконечно удаленные элементы

несобственные элементы,- элементы (точки, прямые, плоскости и т. д.), возникающие при расширении нек-рого аффинного пространства до компактного пространства. Б. у. э. являются одной из форм проявления в различных математич. теориях "актуальной" бесконечности. При этом неразрывная связь бесконечного и конечного проявляется в том, что Б. у. э. имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются при нек-рой конкретной компактификации данного "конечного" пространства. Ниже описываются виды Б. у. э., возникающие при наиболее часто применяемых способах компактификации евклидовых конечномерных пространств. 1) Введением Б. у. э. (точек [img: http://localhost:8080/file/010208-8.jpg]) числовая прямая [img: http://localhost:8080/file/010208-9.jpg] пополняется до компактной расширенной числовой прямой [img: http://localhost:8080/file/010208-10.jpg] гомеоморфной отрезку. Другой способ компактификации состоит в погружении [img: http://localhost:8080/file/010208-11.jpg] в действительную проективную прямую [img: http://localhost:8080/file/010208-12.jpg], гомеоморфную окружности [img: http://localhost:8080/file/010208-13.jpg] (см. Проективное пространство);при этом [img: http://localhost:8080/file/010208-14.jpg] пополняется одной единственной бесконечно удаленной точкой [img: http://localhost:8080/file/010208-15.jpg]. 2) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки [img: http://localhost:8080/file/010208-16.jpg] конечная комплексная плоскость [img: http://localhost:8080/file/010208-17.jpg] пополняется до компактной расширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010208-18.jpg] гомеоморфной комплексной проективной прямой или Римана сфере [img: http://localhost:8080/file/010208-19.jpg] (единичной сфере в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010208-20.jpg]). 3) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки [img: http://localhost:8080/file/010208-21.jpg] n-мерное действительное числовое пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-22.jpg] пополняется до компактного расширенного числового пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-23.jpg] гомеоморфного сфере [img: http://localhost:8080/file/010208-24.jpg] этот гомеоморфизм наглядно демонстрируется стереографической проекцией. Другой способ компактификации состоит в погружении [img: http://localhost:8080/file/010208-25.jpg] в n-мерное действительное проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-26.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010208-27.jpg] эти две компактификации не гомео-морфны. Например, параллельным прямым в проективной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010208-28.jpg] соответствует одна и та же бесконечно удаленная точка, непараллельным прямым - различные бесконечно удаленные точки. Все бесконечно удаленные точки плоскости [img: http://localhost:8080/file/010208-29.jpg] составляют бесконечно удаленную прямую. Аналогично, в проективном пространстве P3(R) каждая плоскость дополнена бесконечно удаленной прямой. Все бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые в [img: http://localhost:8080/file/010208-30.jpg] составляют бесконечно удаленную плоскость. Вообще, в [img: http://localhost:8080/file/010208-31.jpg] все Б. у. э. размерности [img: http://localhost:8080/file/010208-32.jpg] составляют бесконечно удаленную [img: http://localhost:8080/file/010208-33.jpg] -мерную гиперплоскость. 4) Компактификация комплексного n-ме. также возможна посредством погружения [img: http://localhost:8080/file/010208-35.jpg] в комплексное n-мерное проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-36.jpg]. В [img: http://localhost:8080/file/010208-37.jpg] также все Б. у. э. размерности [img: http://localhost:8080/file/010208-38.jpg] составляют комплексную [img: http://localhost:8080/file/010208-39.jpg] мерную бесконечно удаленную гиперплоскость. Другой способ компактификации состоит в расширении [img: http://localhost:8080/file/010208-40.jpg] до расширенного комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-41.jpg] представляющего собой топологич. произведение n пространств [img: http://localhost:8080/file/010208-42.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010208-43.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010208-45.jpg] не гомеоморфны. Бесконечно удаленными точками пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-46.jpg] являются те наборы [img: http://localhost:8080/file/010208-47.jpg] в к-рых хотя бы одна координата [img: http://localhost:8080/file/010208-48.jpg]. Множество всех бесконечно удаленных точек пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-49.jpg] естественно разбивается на пмножеств [img: http://localhost:8080/file/010208-50.jpg] причем каждое [img: http://localhost:8080/file/010208-51.jpg] имеет размерность [img: http://localhost:8080/file/010208-52.jpg]. Точка [img: http://localhost:8080/file/010208-53.jpg] принадлежит всем [img: http://localhost:8080/file/010208-54.jpg]. При рассмотрении действительных функций в [img: http://localhost:8080/file/010208-55.jpg] применима также одноточечная компактификация [img: http://localhost:8080/file/010208-56.jpg], гомеоморфная [img: http://localhost:8080/file/010208-57.jpg] или сфере [img: http://localhost:8080/file/010208-58.jpg].