Бесселя уравнение

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/010209-223.jpg] илц в самосопряженной форме: [img: http://localhost:8080/file/010209-224.jpg] Число v наз. индексом Б. у.; величины [img: http://localhost:8080/file/010209-225.jpg] в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки [img: http://localhost:8080/file/010209-226.jpg] получается приведенная форма уравнения (1): [img: http://localhost:8080/file/010209-227.jpg] Б. у. представляет собой частный случай вырожденного гипергеометрического уравнения;уравнение (2) подстановкой [img: http://localhost:8080/file/010209-228.jpg] приводится к Уиттекера уравнению. Точка [img: http://localhost:8080/file/010209-229.jpg] является для уравнения (1) слабо особой, а точка [img: http://localhost:8080/file/010209-230.jpg] -сильно особой, и поэтому Б. у. не принадлежит классу Фукса уравнений. Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [1], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). Б. у. возникает при разделении переменных во многих задачах математич. физики (см. [2]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. области. Решения Б. у. наз. цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя функции) [img: http://localhost:8080/file/010209-231.jpg], цилиндрич. функции 2-го рода (Вебера функции, или Неймана функции) [img: http://localhost:8080/file/010209-232.jpg], цилиндрич. функции 3-го рода (Ганкеля функции) [img: http://localhost:8080/file/010209-233.jpg] Если индекс [img: http://localhost:8080/file/010209-234.jpg] фиксирован, то все эти функции - аналитич. функции комплексного аргумента [img: http://localhost:8080/file/010209-235.jpg]; для всех этих функций, за исключением функций [img: http://localhost:8080/file/010209-236.jpg] целого индекса, точка [img: http://localhost:8080/file/010209-237.jpg] является ветвления точкой. Если же фиксирован аргумент [img: http://localhost:8080/file/010209-238.jpg], то все эти функции являются однозначными целыми функциями комплексного индекса [img: http://localhost:8080/file/010210-1.jpg] (см. [3]). Если индекс [img: http://localhost:8080/file/010210-2.jpg] не равен целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/010210-3.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-4.jpg] - произвольные постоянные. При произвольном индексе любые две из функций [img: http://localhost:8080/file/010210-5.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010210-6.jpg] линейно независимы и могут служить фундаментальной системой решений уравнения (1). Поэтому общее решение уравнения (1) представляется, в частности, в следующих формах: [img: http://localhost:8080/file/010210-7.jpg] С уравнением (1) тесно связаны: уравнение [img: http://localhost:8080/file/010210-8.jpg] переходящее в (1) при подстановке [img: http://localhost:8080/file/010210-9.jpg] и имеющее своей фундаментальной системой решений модифицированные цилиндрические функции (бесселевы функции мнимого аргумента), и уравнение [img: http://localhost:8080/file/010210-10.jpg] переходящее в (1) при подстановке [img: http://localhost:8080/file/010210-11.jpg] и имеющее своей фундаментальной системой решений Кельвина функции. Многие другие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Эйри уравнение]преобразованием неизвестной функции и независимой переменной также приводятся к уравнению (1); решение ряда линейных уравнений высших порядков удается записать через бесселевы функции (см. [4]). Подстановка [img: http://localhost:8080/file/010210-12.jpg] приводит уравнение (1) к Лапласа уравнению: [img: http://localhost:8080/file/010210-13.jpg] это позволяет представлять решения уравнения (1) через контурные интегралы на комплексной плоскости. В приложениях часто возникают задачи на собственные значения для уравнения [img: http://localhost:8080/file/010210-14.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-15.jpg] фиксировано, а [img: http://localhost:8080/file/010210-16.jpg] - параметр. Уравнение (3). на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010210-17.jpg] с краевыми условиями: [img: http://localhost:8080/file/010210-18.jpg] дает пример задачи с дискретным спектром (собственные значения определяются из условия [img: http://localhost:8080/file/010210-19.jpg] через нули функции Бесселя). Уравнение (3) с краевым условием: [img: http://localhost:8080/file/010210-20.jpg] представляет собой задачу с непрерывным спектром (собственные значения [img: http://localhost:8080/file/010210-21.jpg]). Неоднородное уравнение Бес селя [img: http://localhost:8080/file/010210-22.jpg] имеет частное решение [img: http://localhost:8080/file/010210-23.jpg] Для правой части специальных видов решения уравнения (4) изучены более детально. Напр., при [img: http://localhost:8080/file/010210-24.jpg] уравнению (4) удовлетворяет Ломмеля функция, при [img: http://localhost:8080/file/010210-25.jpg] - Струве функция,. при [img: http://localhost:8080/file/010210-26.jpg] - Ангера функция, при [img: http://localhost:8080/file/010210-27.jpg] - Вебера функция. Имеются линейные уравнения высших порядков, свойства решений к-рых аналогичны свойствам бесселевых функций. Общее уравнение типа Бесселя п- го порядка имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010210-28.jpg] а его решение зависит от п-1 индексов. В частности, уравнение типа Бесселя 3-го порядка (имеющее решение с двумя индексами [img: http://localhost:8080/file/010210-29.jpg]) можно представить в форме: [img: http://localhost:8080/file/010210-30.jpg]