Бибербаха многочлены

экстремальные многочлены, приближающие функцию, к-рая отображает конформно данную односвязную область на круг. Впервые были рассмотрены Л. Бибербахом, [1] в связи с задачей о приближенном вычислении конформно отображающей функции. Пусть односвязная область Gрасположена в конечной части плоскости и ограничена кривой Г, а функция [img: http://localhost:8080/file/010210-148.jpg] отображает эту область конформно и однолистно на круг [img: http://localhost:8080/file/010210-149.jpg] при условиях [img: http://localhost:8080/file/010210-150.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010210-151.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010210-152.jpg] - произвольная фиксированная точка области [img: http://localhost:8080/file/010210-153.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010210-154.jpg] зависит от [img: http://localhost:8080/file/010210-155.jpg]. Многочлен [img: http://localhost:8080/file/010210-156.jpg], минимизирующий интеграл [img: http://localhost:8080/file/010210-157.jpg] в классе всех многочленов [img: http://localhost:8080/file/010210-158.jpg] степени [img: http://localhost:8080/file/010210-159.jpg] при условиях [img: http://localhost:8080/file/010210-160.jpg], наз. многочленом Бибербаха. В классе всех функций, аналитических в области Gи удовлетворяющих тем же условиям, этот интеграл минимизируется отображающей функцией [img: http://localhost:8080/file/010210-161.jpg]. Если контур [img: http://localhost:8080/file/010210-162.jpg] - жорданова кривая, то последовательность [img: http://localhost:8080/file/010210-163.jpg] сходится к функции [img: http://localhost:8080/file/010210-164.jpg] равномерно внутри области G. В замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/010210-165.jpg] сходимости может и не быть (см. [2]). Если же контур Г удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям гладкости, то последовательность [img: http://localhost:8080/file/010210-166.jpg] сходится равномерно в замкнутой области, причем скорость сходимости зависит от степени гладкости кривой Г.