Бибербаха - эйленберга функции

в круге [img: http://localhost:8080/file/010210-167.jpg] - класс Rфункций [img: http://localhost:8080/file/010210-168.jpg], регулярных в круге [img: http://localhost:8080/file/010210-169.jpg], имеющих в нем разложение вида [img: http://localhost:8080/file/010210-170.jpg] и удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/010210-171.jpg] Этот класс функций является естественным расширением класса Вфункций [img: http://localhost:8080/file/010210-172.jpg], регулярных в круге [img: http://localhost:8080/file/010210-173.jpg] имеющих разложение (1) и таких, что [img: http://localhost:8080/file/010210-174.jpg] в круге [img: http://localhost:8080/file/010210-175.jpg] Класс однолистных функций из Rобозначают [img: http://localhost:8080/file/010210-176.jpg]. Функции класса Rбыли названы по имени Л. Бибербаха [1], показавшего, что для [img: http://localhost:8080/file/010210-177.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/010210-178.jpg] причем равенство в (2) достигается только для функции [img: http://localhost:8080/file/010210-179.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-180.jpg] действительное, и С. Эйленберга [2], установившего справедливость неравенства (2) во всем классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функция класса Rподчинена (см. Подчинения принцип) нек-рой функции из класса [img: http://localhost:8080/file/010210-181.jpg]. Из (2) для [img: http://localhost:8080/file/010210-182.jpg] получается точное неравенство [img: http://localhost:8080/file/010210-183.jpg] В классе Rполучена следующая оценка модуля функции: если [img: http://localhost:8080/file/010210-184.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010210-185.jpg] и равенство в (4) реализуется только функциями [img: http://localhost:8080/file/010210-186.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010210-187.jpg] действительное, а [img: http://localhost:8080/file/010210-188.jpg] Экстремальных метрик методом была решена задача о максимуме и минимуме [img: http://localhost:8080/file/010210-189.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/010210-190.jpg] функций из [img: http://localhost:8080/file/010210-191.jpg] с фиксированным значением [img: http://localhost:8080/file/010210-192.jpg] в разложении (1): для [img: http://localhost:8080/file/010210-193.jpg] справедливы точные неравенства [img: http://localhost:8080/file/010210-194.jpg] где функции [img: http://localhost:8080/file/010210-195.jpg] отображают круг [img: http://localhost:8080/file/010210-196.jpg] на области, симметричные относительно мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат объединений замыканий нек-рых траекторий или ортогональных траекторий квадратичного дифференциала на плоскости w в расположении нулей и полюсов к-рого имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нек-рые окончательные результаты для функций класса R~ (с) были получены одновременным использованием метода экстремальных метрик и метода симметризации (см. [4]) Большое число результатов для функции классов [img: http://localhost:8080/file/010210-197.jpg] является следствием соответствующих результатов для систем функций, отображающих круг [img: http://localhost:8080/file/010210-198.jpg] на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом класса Rдля конечно связной области G, не имеющей изолированных граничных точек и не содержащей точки [img: http://localhost:8080/file/010210-199.jpg] является класс [img: http://localhost:8080/file/010210-200.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/010210-201.jpg] регулярных в G и удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/010210-202.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010210-203.jpg] - любые точки области G. Класс [img: http://localhost:8080/file/010210-204.jpg] расширяет класс [img: http://localhost:8080/file/010210-205.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/010210-206.jpg], регулярных в б и таких, что [img: http://localhost:8080/file/010210-207.jpg] в области G. Распространением результата Бибербаха - Эйленберга и неравенства (3) на функции класса [img: http://localhost:8080/file/010210-208.jpg] является следующая точная оценка: если [img: http://localhost:8080/file/010210-209.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010210-210.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-211.jpg] - та из функций класса [img: http://localhost:8080/file/010210-212.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010210-213.jpg] в этом классе.