Бигармоническая функция

функция [img: http://localhost:8080/file/010210-264.jpg] действительных переменных, определенная в области [img: http://localhost:8080/file/010210-265.jpg] евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010210-266.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010210-267.jpg], имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяющая в [img: http://localhost:8080/file/010210-268.jpg] уравнению [img: http://localhost:8080/file/010210-269.jpg] где D -оператор Лапласа. Это уравнение наз. бигарионическим уравнением. Класс Б. ф. включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат [img: http://localhost:8080/file/010210-270.jpg]. Наибольшее значение с точки зрения приложений имеют Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010210-271.jpg] двух переменных. Такие Б. ф. представимы при помощи гармонич. функций [img: http://localhost:8080/file/010210-273.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010210-272.jpg] в виде [img: http://localhost:8080/file/010210-274.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010210-275.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-276.jpg] - постоянная. Основная краевая задача для Б., непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/010210-278.jpg] и удовлетворяющую на границе Сусловиям [img: http://localhost:8080/file/010210-279.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-280.jpg] - производная по нормали к [img: http://localhost:8080/file/010210-281.jpg] - заданные непрерывные функции дуги [img: http://localhost:8080/file/010210-282.jpg] на контуре С. Указанные выше представления Б. ф. позволяют получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонич. функций (см. [1]). Б. [img: http://localhost:8080/file/010210-283.jpg] при помощи двух аналитич. функций [img: http://localhost:8080/file/010211-1.jpg] комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010211-2.jpg]. Это представление позволяет свести краевую задачу [img: http://localhost:8080/file/010211-3.jpg] для произвольной области [img: http://localhost:8080/file/010211-4.jpg] к системе краевых задач для аналитич. функций, метод решения к-рой подробно разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении различных плоских задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).