Биномиальное распределение

распределение Бернулли,- распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения [img: http://localhost:8080/file/010212-285.jpg] с вероятностями соответственно [img: http://localhost:8080/file/010212-286.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010212-287.jpg] - биномиальный коэффициент; р- параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010212-288.jpg]). Б. р.- одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-289.jpg] - последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых может принимать лишь два значения 1 или 0 с вероятностями ри 1 - р соответственно (т. е. каждая из [img: http://localhost:8080/file/010212-290.jpg] подчиняется Б. р. при n=1). Величины [img: http://localhost:8080/file/010212-291.jpg] можно трактовать как результаты независимых испытаний, причем [img: http://localhost:8080/file/010212-292.jpg] в случав "положительного исхода" и [img: http://localhost:8080/file/010212-293.jpg] в случае "отрицательного исхода" испытания с номером г. Если общее количество независимых испытаний пфиксировапно, то такая схема на:;. Бернулли испытаниями, причем суммарное количество положительных исходов [img: http://localhost:8080/file/010212-294.jpg] в этом случае подчиняется Б. р. с параметром р. Математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/010212-295.jpg] (производящая функция Б., представление к-рого по формуле бинома Ньютона имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010212-297.jpg], (отсюда и произошло само назв. "Б. р."). Моменты Б. р. выражаются формулами [img: http://localhost:8080/file/010212-298.jpg] Функция Б. р. определяется при любом действительном значении [img: http://localhost:8080/file/010212-299.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/010212-300.jpg] где [у]-целая часть у, причем [img: http://localhost:8080/file/010212-301.jpg] (В (а, b) - бета-функция Эйлера, интеграл в правой части наз. неполной бета-функцией). При [img: http://localhost:8080/file/010212-302.jpg] функция Б. р. выражается в терминах функции Ф стандартного нормального распределения асимптотич. формулой (теорема Муавра - Лапласа) [img: http://localhost:8080/file/010212-303.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010212-304.jpg] равномерно для всех действительных у. Существуют и другие нормальные приближения Б. р. с остатками более высокого порядка малости. Если количество независимых испытаний пвелико, а вероятность рмала, то индивидуальные вероятности [img: http://localhost:8080/file/010212-305.jpg] приближенно выражаются в терминах Пуассона распределения: [img: http://localhost:8080/file/010212-306.jpg] При этом, если [img: http://localhost:8080/file/010212-307.jpg] (с и С - постоянные), то равномерно относительно всех риз интервала [img: http://localhost:8080/file/010212-308.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-309.jpg] имеет место асимптотич. формула [img: http://localhost:8080/file/010212-310.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010212-311.jpg]. Многомерным обобщением Б. р. является полиномиальное распределение.