Бифуркация

- термин, употребляемый в нек-рых разделах математики применительно к ситуации, когда нек-рый объект [img: http://localhost:8080/file/010213-134.jpg] зависит от параметра [img: http://localhost:8080/file/010213-135.jpg] (не обязательно скалярного) и в любой окрестности нек-рого значения [img: http://localhost:8080/file/010213-136.jpg] последнего (бифуркационное значение, или точка Б.) исследуемые качественные свойства объекта [img: http://localhost:8080/file/010213-137.jpg] не являются одинаковыми для всех [img: http://localhost:8080/file/010213-138.jpg]. Соответствующие точные определения различны в различных случаях, но в общем они следуют (с теми или иными модификациями) двум вариантам: а) Изучаемые качественные свойства объекта [img: http://localhost:8080/file/010213-139.jpg] состоят в существовании других объектов О, определенным образом связанных с ним. Б. состоит в том, что при изменении [img: http://localhost:8080/file/010213-140.jpg] объекты Овозникают или исчезают (в частности, они могут сливаться друг с другом, или из одного объекта может "рождаться" несколько). См. ниже - п. 1). б) Сначала для объектов [img: http://localhost:8080/file/010213-141.jpg] определяется, когда два таких объекта считаются эквивалентными. (Определение должно быть таким, чтобы у эквивалентных объектов все интересующие нас качественные свойства были одинаковыми.) Изменение качественных свойств [img: http://localhost:8080/file/010213-142.jpg] в окрестности точки Б. [img: http://localhost:8080/file/010213-143.jpg], по определению, понимается в том смысле, что там имеются значения [img: http://localhost:8080/file/010213-144.jpg] с неэквивалентными [img: http://localhost:8080/file/010213-145.jpg]. См. ниже - п. 2). 1) В теории операторов исходный объект [img: http://localhost:8080/file/010213-146.jpg] - это нелинейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010213-147.jpg] в действительном банаховом пространстве, с действительным параметром [img: http://localhost:8080/file/010213-148.jpg], определенный в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010213-149.jpg] и такой, что [img: http://localhost:8080/file/010213-150.jpg]. Ему при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010213-151.jpg] сопоставляются другие объекты О - решения хнелинейного операторного уравнения [img: http://localhost:8080/file/010213-152.jpg]. Точка В.- это точка, в к-рои происходит рождение нового, нетривиального решения этого уравнения. Именно, это такая точка [img: http://localhost:8080/file/010213-153.jpg], что для любого [img: http://localhost:8080/file/010213-154.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010213-155.jpg] при к-ром уравнение [img: http://localhost:8080/file/010213-156.jpg] имеет решение [img: http://localhost:8080/file/010213-157.jpg], удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/010213-158.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010213-159.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010213-160.jpg], где A - линейный вполне непрерывный оператор, то понятие точки Б. совпадает с понятием характери-стич. значения оператора А. Если [img: http://localhost:8080/file/010213-161.jpg] - нелинейный вполне непрерывней оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше и такой, что [img: http://localhost:8080/file/010213-162.jpg], то точками Б. оператора Ф могут служить лишь характеристич. значения оператора А. Топологич. методом (см. [1], [2]) установлено, что каждое нечетнократное (в частности, простое) характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Аналогичное достаточное условие для случая четнократных характеристических значений формулируется с помощью понятия вращения векторного поля. Если [img: http://localhost:8080/file/010213-163.jpg] - неизолированное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/010213-164.jpg] есть точка Б. оператора Ф. Вариационным методом доказано (см. [1], [2]), что если [img: http://localhost:8080/file/010213-165.jpg] - нелинейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала, а [img: http://localhost:8080/file/010213-166.jpg] - вполне непрерывный самосопряженный оператор, то каждое характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Понятие точки Б. видоизменяется также на случай больших решений [img: http://localhost:8080/file/010213-167.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010213-168.jpg] Важное значение этих понятий и результатов состоит в том, что при сравнительно слабых ограничениях удается установить ветвление решения [img: http://localhost:8080/file/010213-169.jpg] в частности доказать неединственность решения нелинейной задачи. В ряде случаев более точную информацию дают аналитич. методы теории ветвления решений нелинейных уравнений (см. [5]). 2) В теории гладких динамич. систем рассматриваются однопараметрические (и отчасти двупараметрические [6]) семейства потоков (и каскадов; здесь рассматриваются лишь первые), причем выясняется, когда Б. "типичная", т. е. сохраняет свой характер при малом изменении рассматриваемого семейства [9]; употребительны оба варианта а) и б). При втором два потока считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазового пространства, переводящий траектории одного из них в траектории другого с сохранением направления движения. Имеется вполне удовлетворительная теория Б. однопараметрич. семейств потоков с двумерным фазовым многообразием [7], [9], а также локальный вариант, относящийся к окрестности положения равновесия или периодич. решения в гс-мерном случае [6]. В варианте а) изучаемые объекты О, к-рые сопоставляются данной дннамич. системе,- это положения равновесия и периодич. решения, а иногда также нек-рые инвариантные многообразия (преимущественно торы) и гиперболич. инвариантные множества. Рассматривается "рождение" этих объектов, происходящее как "локально", возле нек-рого положения равновесия или периодич. решения, так и "полулокально", в окрестности "замкнутого контура", образованного несколькими траекториями, к-рые при [img: http://localhost:8080/file/010213-170.jpg] стремятся к положению равновесия или к периодич. решениям. Возможен случай В., к-рая в определенном Смысле связана с подобным контуром, но к-рая происходит (с изменением параметра [img: http://localhost:8080/file/010213-171.jpg]) еще до его возникновения [8]. Часто рождение периодич. решений бывает удобно рассматривать, переписывая дифференциальное уравнение и условие периодичности в виде интегрального уравнения и применяя к нему соответствующие методы [5]. 3) В теории особенностей отображений встречаются разнообразные Б. различных объектов (как исходных, так и сопоставленных им), в связи с чем имеются различные случаи использования этого термина (вернее, производных от него) (см. [10], [6], [11]), но еще чаще соответствующие понятия получают самостоятельные названия. Таковы, напр., версальные семейства (или деформации) (см. [6], [И], [12]), к-рые (в нек-ром смысле) описывают все возможные Б., могущие произойти при малой деформации рассматриваемого объекта, в частности сюда относятся семь элементарных катастроф [12], к-рые представляют собой "типичные" k-параметрические ([img: http://localhost:8080/file/010213-172.jpg]) семейства функций, включающие функцию с вырожденной критической точкой и определенные в окрестности последней; тем самым они описывают соответствующую Б. (Вообще, в иностранной литературе по теории особенностей вместо Б. часто говорят о "катастрофах".)