Близости пространство

множество Рс бинарным отношением [img: http://localhost:8080/file/010213-217.jpg] на множестве всех его подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) [img: http://localhost:8080/file/010213-218.jpg] равносильно [img: http://localhost:8080/file/010213-219.jpg] (симметричность); 2) [img: http://localhost:8080/file/010213-220.jpg] равносильно [img: http://localhost:8080/file/010213-221.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010213-222.jpg] (аддитивность); 3) [img: http://localhost:8080/file/010213-223.jpg] равносильно [img: http://localhost:8080/file/010213-224.jpg] (рефлексивность). Отношение [img: http://localhost:8080/file/010213-225.jpg] определяет близостную структуру, или просто близость, на Р; при этом, если [img: http://localhost:8080/file/010213-226.jpg], то Аи Вназ. близкими множествами, а если [img: http://localhost:8080/file/010213-227.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010213-228.jpg] означает отрицание [img: http://localhost:8080/file/010213-229.jpg]),- то далеким и. Б. п. введены в 1936 (опубликовано в 1951, см [1]). Свойства Б. п. являются обобщением равномерных свойств метрич. пространства аналогично тому, как в топологич. пространстве обобщаются его непрерывные свойства. Попытка введения структуры, до нек-рой степени аналогичной близостной, была предпринята в [3], когда еще не вполне оформилось понятие топологич. пространства, и вместо замыкания рассматривалось производное множество: введенное там отношение между множествами соответствовало у них общей (быть может, "идеальной") точки прикосновения. Более содержательны понятия близости, удовлетворяющие, кроме 1) - 3), дополнительным аксиомам, аналогичным аксиомам отделимости; такова, напр., хаусдорфова близость, к-рая удовлетворяет аксиоме: [img: http://localhost:8080/file/010214-1.jpg] равносильно [img: http://localhost:8080/file/010214-2.jpg] (при этом вместо 3) достаточно принять ее следствие: [img: http://localhost:8080/file/010214-3.jpg]); нормальная близость, характеризующаяся аксиомой: если [img: http://localhost:8080/file/010214-4.jpg], то существуют непересекающиеся подмножества [img: http://localhost:8080/file/010214-5.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/010214-6.jpg] Появление аксиом Б. п., естественно симметризующих аксиомы топологич. пространства, сформулированные в терминах замыкания (т. е. близости множества и точки), стало возможным после того, как было установлено, что свойство отображений [img: http://localhost:8080/file/010214-7.jpg] метрич. пространств, состоящее в том, что любые множества, лежащие в [img: http://localhost:8080/file/010214-8.jpg] на нулевом расстоянии, имеют в [img: http://localhost:8080/file/010214-9.jpg] образы, также расположенные бесконечно близко, в точности эквивалентно равномерной непрерывности. (Аналогичное топологич. свойство [img: http://localhost:8080/file/010214-10.jpg] - замыкание К, иногда принимается за определение непрерывности.) Таким образом, всякая метрика dist на множестве Рпорождает близость на нем: [img: http://localhost:8080/file/010214-11.jpg] эквивалентно [img: http://localhost:8080/file/010214-12.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010214-13.jpg] -непрерывность в смысле последней эквивалентна равномерной непрерывности [2]; Б. п., для к-рых такая метрика возможна, наз. метризуемыми. Близостная структура порождает топологич. структуру: замыкание множества Копределяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010214-14.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010214-15.jpg] при этом из [img: http://localhost:8080/file/010214-16.jpg] -непрерывности отображения вытекает его непрерывность в этой топологии. Б. п., порождающие одну и ту же топологию, не обязательно [img: http://localhost:8080/file/010214-17.jpg] -изоморфны: так, плоскости Евклида и Лобачевского не [img: http://localhost:8080/file/010214-18.jpg] -изоморфны, хотя и гомеоморфны [2]. Топология хаусдорфовых близостей хаусдорфова; напротив, из близостной нормальности следует лишь полная регулярность: замкнутые непересекающиеся множества не обязательно далеки. Более того, всякая вполне регулярная топология порождается нормальной близостью, причем бикомпактная - единственной. Поскольку произвольные далекие множества в Б. п. можно отделить d-непрерывной функцией [2], они функционально отделимы в смысле его топологии; те Б. п., для к-рых верно обратное, наз. пространствами близости Стоуна - Чеха. С наличием топологии в Б. п. связаны нек-рые обобщения близостной структуры, к-рые обычно сводятся к замене аксиомы нормальности какой-либо более слабой. Таковы, напр., близость Лодато: если [img: http://localhost:8080/file/010214-19.jpg],то [img: http://localhost:8080/file/010214-20.jpg]; близость Федорчука ([img: http://localhost:8080/file/010214-21.jpg] -близость): [img: http://localhost:8080/file/010214-22.jpg] равносильно существованию открытого [img: http://localhost:8080/file/010214-23.jpg], для к-рого внутренность замвшания [img: http://localhost:8080/file/010214-24.jpg] совпадает с Л и притом [img: http://localhost:8080/file/010214-25.jpg]; и т. д. Естественность понятия Б. п. проявляется еще и в том, что всякое Б. п. имеет бикомпактное расширение и притом единственное; таким образом, гомеоморфные Б. п. взаимно однозначно соответствуют бикомпактным расширениям порождаемого ими топологич. пространства, [img: http://localhost:8080/file/010214-26.jpg] -непрерывное отображение, т. е. такое отображение [img: http://localhost:8080/file/010214-27.jpg], что для любых [img: http://localhost:8080/file/010214-28.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010214-29.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010214-30.jpg] и только оно продолжается в непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/010214-31.jpg] бикомпактных расширений. Высказанные утверждения, впервые сформулированные в терминах Б. п. в [4], были доказаны, по существу, еще в 1948 П. Самюэлем (P. Samuel). При изучении компактификаций равномерных пространств им было установлено [10],что не всякие, а только нек-рые равномерные пространства (так наз. прекомпактные - пространства с бикомпактными пополнениями) можно равномерно непрерывно вложить в бикомпакт, однако для каждого равномерного пространства существует единственное бикомпактное расширение (S-рефлексия) [img: http://localhost:8080/file/010214-32.jpg] (обратное отображение [img: http://localhost:8080/file/010214-33.jpg] лишь непрерывно, но не равномерно непрерывно), причем на это расширение можно продолжить все окружения нек-рого типа, напр., все окружения вида [img: http://localhost:8080/file/010214-34.jpg] Таким образом, равномерные структуры разбиваются на классы эквивалентности, - две равномерности эквивалентны, если они имеют одну и ту же S-рефлексию. Близость в равномерном пространстве вводится условием: [img: http://localhost:8080/file/010214-35.jpg], если для любого окружения [img: http://localhost:8080/file/010214-36.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/010214-37.jpg] построенное вложение, равно как и указанная эквивалентность, есть [img: http://localhost:8080/file/010214-38.jpg] -изоморфизм, т. е. взаимно однозначное и [img: http://localhost:8080/file/010214-39.jpg] -непрерывное отображение. Взаимно однозначное соответствие между близостями и компактификациями привело к тому, что в течение довольно длительного времени после обнаружения факта старались Исследовать главным образом те свойства этих пространств, к-рые формулируются непосредственно в терминах бикомпактных расширений. Таковы, напр., размерности [img: http://localhost:8080/file/010214-40.jpg] (но не [img: http://localhost:8080/file/010214-41.jpg]) [6], близостный вес, близостная связность и т. п. На простое свойство близостной связности, т. е. свойство: из [img: http://localhost:8080/file/010214-42.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010214-43.jpg], обратил внимание еще Г. Кантор (G. Cantor), к-рый определил континуум (не путать с введенным позже канторовым континуумом!) как близостно связное полное подпространство в [img: http://localhost:8080/file/010214-44.jpg]. Хотя, в принципе, все свойства Б. п. Рзаключены в свойствах инъекции [img: http://localhost:8080/file/010214-45.jpg] все они, во-первых, отнюдь не обязательно заключены в свойствах самого [img: http://localhost:8080/file/010214-46.jpg] во-вторых, не известно, каким именно особенностям инъекции [img: http://localhost:8080/file/010214-47.jpg] соответствуют такие свойства [img: http://localhost:8080/file/010214-48.jpg], как, напр., метризуемость, полнота, правильность. Б. п. ценны именно тем, что с их помощью можно изучать компактификаций, но не наоборот. Свойства Б. п., не описываемые непосредственно в топологич. терминах, наз. равномерными. Первым систематически изученным равномерным свойством Б. п. явилась полнота: попытки ввести фильтры Коши или фундаментальные последовательности в терминах бикомпактных расширений не увенчались успехом. Покрытие [img: http://localhost:8080/file/010214-49.jpg] наз, равномерным покрытием Б. п. Р, если с него начинается измельчающаяся последовательность [img: http://localhost:8080/file/010214-50.jpg] звездно вписанных покрытий (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010214-51.jpg]), причем ни одно из них не разрывает близких множеств, т. е. всегда [img: http://localhost:8080/file/010214-52.jpg]. Множество равномерных покрытий В.. п. совпадает с объединением всех равномерных структур, совместимых с этим пространством [4]. Можно также определить равномерные покрытия как прообразы при всевозможных 6-непрерывных отображениях в метрич. пространства покрытий, имеющих положительное лебегово число. Полнота, определенная с помощью фильтров Коши - таких фильтров [img: http://localhost:8080/file/010214-53.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010214-54.jpg] для любого равномерного покрытия [img: http://localhost:8080/file/010214-55.jpg], - соответствует интуитивным представлениям и совпадает с метрической для метризуемых пространств. Для полноты Б. п. достаточно, чтобы какое-либо из совместимых с ним равномерных пространств было полным. Неизвестно (1977), необходимо ли это условие; во всяком случае, контрпримеры могут доставляться только неправильными (см. ниже) Б. п. Построены [5]пополнения Б. п. как наименьшие (уже не единственные) полные расширения; одновременно пополнения суть наибольшие расширения, на к-рые продолжаются все равномерные покрытия в виде равномерных же покрытпй, а также все [img: http://localhost:8080/file/010214-56.jpg] -непрерывные отображения в полные Б. п. (другими словами, подкатегория полных Б. п.- наряду с подкатегорией бикомпактных пространств - рефлексивная категория). Пространства с бикомпактными пополнениями (т. е. прекомпактные пространства) характеризуются тем, что из каждого их равномерного покрытия можно выбрать конечное равномерное подпокрытие. Произведение Б. п. [img: http://localhost:8080/file/010214-57.jpg] первоначально вводили, индуцируя на теоретпко-множественное произведение близость из топологич. произведения [img: http://localhost:8080/file/010214-58.jpg] их бикомпактных расширений. Такое произведение, несмотря на то, что оно идентично с произведением в смысле категории Б. п., все же неудовлетворительно геометрически и пригодно главным образом для построейия экзотических примеров: так, это произведение (обозначаемое обычно [img: http://localhost:8080/file/010214-59.jpg]) двух бесконечных дискретных пространств иедискретно и даже неметризуемо, двух прямых линий - неметризуемо п анизотропно: поворот получившейся "плоскости" на острый угол не будет 6-изоморфпз-мом, и т. п. Близостным произведением двух (и аналогично любого числа) Б. п. Рп Q наз. произведение, наделенное грубейшей близостью [7], в к-рой равномерны все декартовы произведения равномерных покрытий факторов, т. е. все покрытия вида [img: http://localhost:8080/file/010214-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-61.jpg] Требование [img: http://localhost:8080/file/010214-62.jpg] -непрерывности обеих проекций [img: http://localhost:8080/file/010214-63.jpg] эквивалентно аналогичному условию лишь для конечных равномерных покрытий. Для равномерных пространств, в отличие от Б. п., оба определения эквивалентны, так как подкатегория метрич. пространств не замкнута относительно декартова произведения в категории Б. п., хотя замкнута в категориях топологических и равномерных пространств. Близостное произведение можно понимать как естественное распространение функтора произведения с подкатегории метризуемых Б. п. на все Б. п., т. е. близость произведения [img: http://localhost:8080/file/010214-64.jpg] представляет собой грубейшую близость, в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010214-65.jpg] -непрерывность любого отображения [img: http://localhost:8080/file/010214-66.jpg] - метрич. пространства, следует из [img: http://localhost:8080/file/010214-67.jpg] -непрерывности обоих отображений [img: http://localhost:8080/file/010214-68.jpg] если под [img: http://localhost:8080/file/010214-69.jpg] понимать обычное произведение метрич. пространств [7]. Незамкнутость подкатегории метрич. пространств приводит к непривычному, но неизбежному следствию: "вектор-функция" [img: http://localhost:8080/file/010214-70.jpg], у к-рои обе "координатные" функции [img: http://localhost:8080/file/010214-71.jpg] -непрерывны, не обязательно б-непрерывна (причем безразлично, что понимается под Аи В:произвольные Б. п. или только метрпзуемые), лишь бы произведение метрич. пространств понималось в обычном смысле. Те Б. п., для к-рых указанного явления не происходит, наз. правильными. Правильные Б. п. можно определять также, как такие, у к-рых проекция диагонали в [img: http://localhost:8080/file/010214-72.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010214-73.jpg] -изоморфизмом. В правильных Б. п. и только в них пересечение [img: http://localhost:8080/file/010214-74.jpg] двух равномерных покрытий снова есть равномерное покрытие, и совокупность всех таких пересечений является равномерностью [7]. Для произвольного Б. п. Р имеется грубейшее правильное пространство [img: http://localhost:8080/file/010214-75.jpg], мажорирующее Р,- так наз. поправление. Поправление [img: http://localhost:8080/file/010214-76.jpg] является в то же время тончайшим Б. п., на к-рое продолжаются любые отображения вида [img: http://localhost:8080/file/010214-77.jpg], где М- метризуемо (т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/010214-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-79.jpg] -непрерывно, если отображение [img: http://localhost:8080/file/010214-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-81.jpg] -непрерывно). Утверждение остается верным, если Мзаменить на произвольное правильное Б. п. Q;таким образом, множества [img: http://localhost:8080/file/010214-82.jpg] -непрерывных отображений [img: http://localhost:8080/file/010214-83.jpg] находятся в естественном взаимно однозначном соответствии, т. е. подкатегория правильных Б. п. корефлективна, а функтор "!" является корефлектором. Метризуемые Б. п. правильны (и проекция [img: http://localhost:8080/file/010214-84.jpg] - гомеоморфизм), подкатегория метрич. пространств замкнута относительно декартова произведения в категории правильных пространств. Кроме метрических, правильны прекомпактные пространства, более того, утверждение: если для всех [img: http://localhost:8080/file/010214-85.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010214-86.jpg],- эквивалентно прекомпактности Р. Поправления произведении [img: http://localhost:8080/file/010214-87.jpg] совпадают: [img: http://localhost:8080/file/010214-88.jpg] Таким образом, произведение [img: http://localhost:8080/file/010214-89.jpg] почти всегда неправильно, поскольку совпадение [img: http://localhost:8080/file/010214-90.jpg] имеет место тогда и только тогда, когда один из факторов прекомпактен; неизвестно (1977), правильно ли произведение правильных Б. п. Теория размерности Б. п. имеет нек-рые особенности. Прежде всего, для Б. п. рассматриваются две размерности "по покрытиям" [img: http://localhost:8080/file/010214-91.jpg] (определенные аналогично топологич. размерности dim, но с использованием конечных или, соответственно, произвольных равномерных покрытий), и только одна индуктивная размерность [img: http://localhost:8080/file/010214-92.jpg] Ind, аналогичная размерности Ind, с заменой непересекающихся множеств на далекие [11]. Однако близостный аналог перегородки нетривиален: множество Н"освобождает" далекие множества А п В, если [img: http://localhost:8080/file/010214-93.jpg] и из [img: http://localhost:8080/file/010214-94.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010214-95.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010214-96.jpg] Нет примера (1977) несовпадения хотя бы каких-нибудь двух из этих трех размерностей. Размерность [img: http://localhost:8080/file/010214-97.jpg] конечно аддитивна, и [img: http://localhost:8080/file/010214-98.jpg]; если [img: http://localhost:8080/file/010214-99.jpg] плотно в [img: http://localhost:8080/file/010214-100.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010214-101.jpg]. Размерность [img: http://localhost:8080/file/010214-102.jpg] не меньше размерности [img: http://localhost:8080/file/010214-103.jpg] и тоже не может уменьшаться при переходе к плотному подпространству, хотя неизвестно (1977), может ли она при этом увеличиваться; при переходе к пополнению она сохраняется. Для метризуемых пространств [img: http://localhost:8080/file/010214-104.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-105.jpg], в произвольном пространстве выполнено либо [img: http://localhost:8080/file/010214-106.jpg], либо [img: http://localhost:8080/file/010214-107.jpg]. Построено несколько примеров равномерных пространств с несовпадающими размерностями, но ни одна из этих конструкций не верна для Б. п. В близостном произведении [img: http://localhost:8080/file/010214-108.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010214-109.jpg] дискретно и счетно, совпадение размерностей [img: http://localhost:8080/file/010214-110.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010214-111.jpg] происходит в том и только в том случае, когда это Б. п. правильно [8]. Одновременно из неправильности [img: http://localhost:8080/file/010214-112.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010214-113.jpg] нарушение монотонности для [img: http://localhost:8080/file/010214-114.jpg] (так как Dd (N х N) = 0).