Бляшке произведение

, " Бляшке функция,- регулярная аналитич. функция комплексного переменного z, определенная в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/010214-211.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-212.jpg] в виде конечного пли бесконечного произведения [img: http://localhost:8080/file/010214-213.jpg] где n - целое неотрицательное число, [img: http://localhost:8080/file/010214-214.jpg] - последовательность точек [img: http://localhost:8080/file/010214-215.jpg] такая, что произведение в правой части (*) сходится (условие сходимости необходимо лишь в случае бесконечного произведения). В. п. было введено В. Бляшке [1], установившим следующее утверждение: последовательность [img: http://localhost:8080/file/010214-216.jpg] точек [img: http://localhost:8080/file/010214-217.jpg] определяет функцию вида (*) тогда и только тогда, когда сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/010214-218.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010214-219.jpg] Каждый множитель вида [img: http://localhost:8080/file/010214-220.jpg] наз. множителем Бляшке для [img: http://localhost:8080/file/010214-221.jpg], осуществляет однолистное конформное отображение круга Кна себя, переводящее точку [img: http://localhost:8080/file/010214-222.jpg] в нуль, с нормировкой [img: http://localhost:8080/file/010214-223.jpg] Множители вида [img: http://localhost:8080/file/010214-224.jpg] можно интерпретировать как множители Бляшке, соответствующие нулю [img: http://localhost:8080/file/010214-225.jpg] и нормировке [img: http://localhost:8080/file/010214-226.jpg]. Определение множителей Бляшке и Б. Последовательность [img: http://localhost:8080/file/010214-227.jpg] (здесь n нулей), обычно выписываемая в порядке неубывания [img: http://localhost:8080/file/010214-228.jpg], является последовательностью всех нулей Б. п. (*) (каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность). Таким образом, сформулированное выше утверждение Бляшке описывает те последовательности, к-рые являются последовательностями нулей всевозможных Б. п. Произведение (*) можно рассматривать как простейшую ограниченную голоморфную в круге Кфункцию, имеющую заданную последовательность нулей. Оно сходится абсолютно и равномерно внутри К, представляет в круге Кограниченную голоморфную функцию, [img: http://localhost:8080/file/010214-229.jpg] почти всюду имеет угловые граничные значения, но модулю равные 1. Для того чтобы ограниченная голоморфная функция [img: http://localhost:8080/file/010214-230.jpg] была Б. п., необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/010214-231.jpg] С помощью Б. точек круга Кявляется последовательностью всех нулей некоторой ограниченной голоморфной в Кфункции [img: http://localhost:8080/file/010214-233.jpg] тогда и только тогда, когда ряд [img: http://localhost:8080/file/010214-234.jpg] сходится. При этом [img: http://localhost:8080/file/010214-235.jpg] представима в виде произведения [img: http://localhost:8080/file/010214-236.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010214-237.jpg] - Б. функции [img: http://localhost:8080/file/010214-239.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010214-240.jpg] - отличная от нуля голоморфная в Кфункция, [img: http://localhost:8080/file/010214-241.jpg], допускающая сравнительно простое интегральное представление. Кроме ограниченных функций, аналогичное факторизационное описание строится для ограниченного вида функций, Харди классов (см. [2] -[4]). Изложенная теория получила существенное обобщение в работах М. М. Джрбашяна (см. [5], [6]), построившего бесконечные произведения более общей природы, пригодные для факторизации гораздо более широких классов мероморфных функций. Решена также задача построения аналогов Б. и. и теоремы Бляшке для двусвязных [7] и, вообще, конечносвязных [8] областей. Решение проблемы построения удобных аналогов Б.