Борелевское множество

B-множество,- множество, к-рое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. пространства. Более точно, борелевским множеством наз. элемент наименьшего замкнутого относительно дополнений счетно аддитивного класса множеств, содержащего замкнутые множества. Другие названия Б. м.: множества, измеримые по Борелю, В - измерим., являющиеся, соответственно, счетными суммами замкнутых и счетными пересечениями открытых множеств. Б. м. второго порядка наз. множества типа [img: http://localhost:8080/file/010217-115.jpg] (пересечение счетного числа множеств типа [img: http://localhost:8080/file/010217-116.jpg]) н множества типа [img: http://localhost:8080/file/010217-117.jpg] (сумма счетного числа множеств типа [img: http://localhost:8080/file/010217-118.jpg]). Так, по индукции, определяются р. м. любого конечного порядка. Эта классификация может быть продолжена при помощи трансфинитных чисел второго класса, и ею исчерпываются все Б. м. Если [img: http://localhost:8080/file/010217-119.jpg] - какое-нибудь трансфинитное число второго класса, то Б. м. класса [img: http://localhost:8080/file/010217-120.jpg] наз. все Б. м. порядка [img: http://localhost:8080/file/010217-121.jpg], не являющиеся Б. м. порядка [img: http://localhost:8080/file/010217-122.jpg] ни при каком [img: http://localhost:8080/file/010217-123.jpg] Непустота классов Б. м. зависит от основного пространства, в к-ром ведется рассмотрение. В евклидовом, гильбертовом и бэровском пространствах существуют Б. м. любого класса. Б. м. представляет собой частный случай А -множеств. Для того чтобы A- множество Ебыло Б. м., необходимо и достаточно, чтобы дополнение к Етакже было А-множеством (М. Я. Суслин). В пространствах, где введена Лебега мера, всякое Б. м. является измеримым по Лебегу. Обратное неверно. В любом сепарабельном пространстве мощности континуум существуют множества, не являющиеся Б. м. Б. м. введены Э. Борелем [1]; они играют важную роль при изучении борелевских функций. В более общем понимании Б. м. - множество любой борелевской системы множеств, порожденной нек-рой системой множеств. Б. м. топологич. пространства порождаются системой замкнутых подмножеств этого пространства.