Бореля мера

множеств- неотрицательная функция m подмножеств топологич. пространства X, обладающая следующими свойствами: 1) область ее определения есть [img: http://localhost:8080/file/010217-126.jpg] -алгебра [img: http://localhost:8080/file/010217-127.jpg] борелевских множеств из X, т. е. наименьший класс подмножеств из X, содержащий открытые множества и замкнутый относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе; 2) [img: http://localhost:8080/file/010217-128.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010217-129.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/010217-130.jpg] счетно аддитивна. Б. м. [img: http://localhost:8080/file/010217-131.jpg] наз. регулярной, если [img: http://localhost:8080/file/010217-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010217-133.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010217-134.jpg] замкнутых подмножеств из X. Нередко изучение Б. м. связывают с изучением мер Бэра, к-рые отличаются от Б. м. лишь областью их определения: они определены на наименьшей [img: http://localhost:8080/file/010217-135.jpg] -алгебре [img: http://localhost:8080/file/010217-136.jpg], относительно к-рой измеримы все непрерывные функции на X. Б. м. [img: http://localhost:8080/file/010217-137.jpg] (соответственно мера Бэра [img: http://localhost:8080/file/010217-138.jpg]) наз. [img: http://localhost:8080/file/010217-139.jpg] -гладкой, если [img: http://localhost:8080/file/010217-140.jpg] для любой сети [img: http://localhost:8080/file/010217-141.jpg] замкнутых множеств, удовлетворяющей условию [img: http://localhost:8080/file/010217-142.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010217-143.jpg] для любой сети [img: http://localhost:8080/file/010217-144.jpg] множеств, являющихся нулями непрерывных функций, при условии, что [img: http://localhost:8080/file/010217-145.jpg] Б. м. [img: http://localhost:8080/file/010217-146.jpg] (соответственно мера Бэра v) наз. п л о тн о и, если [img: http://localhost:8080/file/010217-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-148.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010217-149.jpg] -класс компактных подмножеств из [img: http://localhost:8080/file/010217-150.jpg] X(соответственно [img: http://localhost:8080/file/010217-151.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-152.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-154.jpg] Плотность и [img: http://localhost:8080/file/010217-155.jpg] -гладкость являются ограничениями, обеспечивающими дополнительную гладкость мер, и часто выполняются в конкретных.ситуациях. При определенных условиях меры Бэра могут быть продолжены до Б. м. Напр., если Xвполне регулярно и хаусдорфово, то всякая [img: http://localhost:8080/file/010217-156.jpg] -гладкая (плотная) конечная мера Бэра может быть продолжена до регулярной [img: http://localhost:8080/file/010217-157.jpg] -гладкой (плотной) конечной Б. м. При изучении мер на локально компактных пространствах Б. м. (соответственно мерами Бэра) наз. иногда меры, определенные на [img: http://localhost:8080/file/010217-158.jpg] -кольце множеств, порожденном компактными (соответственно компактными [img: http://localhost:8080/file/010217-159.jpg]) множествами, и конечные на компактных множествах. Мерой Бореля на прямой часто наз. меру, определенную на борелевских множествах и такую, что ее значение на произвольном отрезке равно длине этого отрезка.