Борсука проблема

- одна из основных задач комбинаторной геометрии: существует ли для каждого ограниченного множества разбиение диаметра [img: http://localhost:8080/file/010217-221.jpg] евклидова n-мерного пространства на не более чем [img: http://localhost:8080/file/010217-222.jpg] подмножеств, диаметр каждого из к-рых меньше а? Б. п. была сформулирована К. Борсуком [1] в связи с невозможностью разбиения n-мерного симплекса и п- мерного шара из [img: http://localhost:8080/file/010217-223.jpg] на пчастей меньшего диаметра. Б. п. положительно решается для случаев [img: http://localhost:8080/file/010217-224.jpg] для случаев [img: http://localhost:8080/file/010217-225.jpg] имеются частичные результаты. Напр., Б. п. положительно решается для каждого ограниченного гладкого выпуклого тела из [img: http://localhost:8080/file/010217-226.jpg]. Доказано, что решение Б. п. сводится к случаю тел постоянной ширины. Если [img: http://localhost:8080/file/010217-227.jpg] - наименьшее число частей диаметра, меньшего d, на к-рое разбивается множество [img: http://localhost:8080/file/010217-228.jpg], то для фигуры [img: http://localhost:8080/file/010217-229.jpg] диаметра dравенство a(F) = 3 верно в том и только том случае, когда в [img: http://localhost:8080/file/010217-230.jpg] существует единственная фигура постоянной ширины d, содержащая F(см. [3]). Для [img: http://localhost:8080/file/010217-231.jpg] этот факт непосредственно не обобщается. Б. п. тесно примыкает к освещения задачам и к Хадвигера гипотезе, представляющей обобщение Б. п. на случай, когда [img: http://localhost:8080/file/010217-232.jpg] заменяется конечномерным нормированным пространством.