Бохнера - мартинелли представление

, " Мартинелли - Бохнера представление, Мартинелли- Бохнера формула, - интегральное представление голоморфных функций, определяемое следующим образом (см. [1], [2]). Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010218-69.jpg] голоморфна в области [img: http://localhost:8080/file/010218-70.jpg] с кусочно гладкой границей [img: http://localhost:8080/file/010218-71.jpg] и непрерывна в ее замыкании [img: http://localhost:8080/file/010218-72.jpg]. Тогда выражение [img: http://localhost:8080/file/010218-73.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010218-74.jpg] означает, что член [img: http://localhost:8080/file/010218-75.jpg] следует опустить, наз. Б. -М. п. При n=1 Б.-М. п. совпадает с интегральной формулой Коши (см. Коши интеграл), однако при [img: http://localhost:8080/file/010218-76.jpg] его ядро не является голоморфным по z, и этим объясняется ограниченность применения В. -М. п. в теории функций многих комплексных переменных. Ядром Б.-М. п. является дифференциальная форма по z бисте-пени (п, п-1): [img: http://localhost:8080/file/010218-77.jpg] определенная в [img: http://localhost:8080/file/010218-78.jpg], с особенностью в точке [img: http://localhost:8080/file/010218-79.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010218-80.jpg] (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010218-81.jpg]) вне особенности. При n>1 форма [img: http://localhost:8080/file/010218-82.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/010218-83.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010218-84.jpg] - форма бистепени [img: http://localhost:8080/file/010218-85.jpg], коэффициент к-рой является фундаментальным решением уравнения Лапласа; здесь [img: http://localhost:8080/file/010218-86.jpg] Следующее интегральное представление, обобщающее формулу (*), является аналогом формулы Коши -Грина (см. Коши интеграл):. если функция f непрерывно дифференцируема в замыкании области D МCn с кусочно гладкой границей дD, то для всякой точки zОD [img: http://localhost:8080/file/010218-87.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010218-88.jpg] где Г - гладкая гиперповерхность в [img: http://localhost:8080/file/010218-89.jpg] и f - функция на Г, интегрируемая по мере Лебега, наз. интегралом типа Бохнера - Мартинелли. Как и для интегралов типа Коши, для интегралов типа Бохнера - Мартинелли справедлива формула Сохоцкого при обычных ограничениях на Г и f. Интеграл типа Бохнера - Мартинелли является комплексной функцией, гармонической всюду вне Г; в общем случае эта функция голоморфна лишь при п=1. Если [img: http://localhost:8080/file/010218-90.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/010218-91.jpg] условие [img: http://localhost:8080/file/010218-92.jpg] вне [img: http://localhost:8080/file/010218-93.jpg] эквивалентно голоморфности [img: http://localhost:8080/file/010218-94.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010218-95.jpg]. Б.-М. п. используется для вывода других интегральных представлений (напр., Бергмана - Вейля представления), для голоморфного продолжения с границы, а также в теории граничных значений голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Б.- М. п. получено С. Бохнером и Э. Мартинелли (см. [1], [2]).