Бюрмана - лагранжа ряд

ряд Лагранжа, - степенной ряд, полностью решающий задачу локального обращения голоморфных функций. Именно, пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010220-305.jpg] комплексного переменного z регулярна в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010220-306.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010220-307.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010220-308.jpg]. Тогда в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010220-309.jpg] плоскости [img: http://localhost:8080/file/010220-310.jpg] определена регулярная функция [img: http://localhost:8080/file/010220-311.jpg], обратная по отношению к [img: http://localhost:8080/file/010220-312.jpg] и такая, что [img: http://localhost:8080/file/010220-313.jpg] при этом, если [img: http://localhost:8080/file/010220-314.jpg] - любая регулярная в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010220-315.jpg] функция, то сложная функция [img: http://localhost:8080/file/010220-316.jpg] разлагается в окрестности точки w=b вряд Бюрмана - Лагранжа [img: http://localhost:8080/file/010220-317.jpg] Случай непосредственного обращения функции [img: http://localhost:8080/file/010220-318.jpg] получается при [img: http://localhost:8080/file/010220-319.jpg]. Разложение (*) вытекает из теоремы Бюрмана [1]: при указанных выше предположениях относительно голоморфных функций [img: http://localhost:8080/file/010220-320.jpg] последняя в нек-рой области на плоскости z, содержащей точку а, может быть представлена в виде: [img: http://localhost:8080/file/010220-321.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010220-322.jpg] - контур на плоскости t, содержащий внутри точки а и z и такой, что если [img: http://localhost:8080/file/010220-323.jpg] - какая-либо точка внутри [img: http://localhost:8080/file/010220-324.jpg], то уравнение [img: http://localhost:8080/file/010220-325.jpg] не имеет ни на [img: http://localhost:8080/file/010220-326.jpg], ни внутри [img: http://localhost:8080/file/010220-327.jpg] иных корней, кроме простого корня [img: http://localhost:8080/file/010220-328.jpg]. Разложение (*) для случая [img: http://localhost:8080/file/010220-329.jpg] было получено Ж. Лагранжем [2]. В случае, когда производная [img: http://localhost:8080/file/010220-330.jpg] имеет в точке [img: http://localhost:8080/file/010220-331.jpg] нуль порядка r- 1, В. -Л. р. для многозначной обратной функции допускает следующее обобщение (см.[3]): [img: http://localhost:8080/file/010220-332.jpg] Другое обобщение (см., напр., [4]) относится к функциям [img: http://localhost:8080/file/010220-333.jpg], регулярным в кольце; оно приводит вместо ряда (*) к ряду по положительным и отрицательным степеням разности [img: http://localhost:8080/file/010220-334.jpg].